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* 第二章 离散型随机变量及其分布 一、一维随机变量及分布函数 二、多维随机变量及其分布 1.1、一维随机变量及分布函数 1.2、一维离散型随机变量 2.1、多维随机变量及分布函数 2.2、多维离散型随机变量及其联合分布 2.3、边际分布、条件分布 2.4、数学期望、方差 §1.1 随机变量及分布函数 (1)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，ω表示射击次数。 ω 射击1次 射击2次 ...... 射击n次 ...... X(ω) 1 2 ...... n ...... (2)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间。 ω 候车时间 X(ω) [0, 10) 一、随机变量的概念 定义 设E是一随机试验，Ω 是它的样本空间，若 则称 Ω 上的单值实值函数 X ( ?)为随机变量。 注： 随机变量一般用 X, Y , Z ,?或小写希腊字母?, ?, ? 表示。 随机变量中对应的实值要有区分度。 随机变量的特点： 1、定义域 : Ω. 2、随机性 :随机变量X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知可能的取值但不能确定取哪个值. 3、概率特性 : X 以一定的概率取某个值或某些值. 4、引入随机变量后，用随机变量的等式或不等式表达随机事件. 为随机变量X 的分布函数。 定义 设X 为随机变量, 称定义域为(-∞,+∞)的实值函数 二、随机变量的分布函数 利用分布函数可以计算 请 填 空 例1.设随机变量X的分布函数为: 求: 例2:随机变量的分布律为 求 的分布函数，并求 -1 2 3 分布函数的性质 1、 F ( x ) 单调不减，即 2、 且 3、 F ( x ) 右连续，即 §1.2 离散型随机变量及其分布律 定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或可列多个，则称 X 为离散型随机变量。 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即 分布律的性质 一、离散型随机变量的概念 1、 非负性 2、 规范性 二、离散型随机变量的分布函数与分布律 离散型随机变量的分布律与分布函数求法: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率. (3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）. (4) 根据分布律写出分布函数。 注意： 例1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值．试求X 的分布律． 具体写出，即可得 X 的分布律： 解： X 的可能取值为 5，6，7，8，9，10． 并且 = —— 求分布律一定要说明 k 的取值范围！ ?1 单点分布（退化分布）single point distribution ?2 二点分布（0-1分布）Bernoulli distribution Def 若随机变量 的分布表为 其中 ，则称 服从参数为 的二点分布。 二点分布所能刻画随机现象： 凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以二点分布作为其概率模型。例如：掷硬币观察正反面，产品是否格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。 三、常见的离散型随机变量的分布 ?3 离散型均匀分布 如在“掷骰子”的试验中，用 表示事件 ｛出现 点｝，则随机变量 是均匀分布． ?4 二项分布 背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— 若P ( A ) = p , 则 称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布. 例1:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率. 解 :由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验。 ?5 Poisson 分布 若 其中 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 。 在一定时间间隔内： 一匹布上的疵点个数； 应用场合 一本书中印刷错误的个数； 某一地区发生的交通事故的次数； 等等。