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例2 例3 设 预 习习 题 六 总 结(A为方阵) (^-^) Bye! 1.若A有n个互异特征值 A可相似对角化. 2. A可对角化 A有n个线性无关的特征向量. 3. A可对角化 A每个特征值的几何重数 R(λiE –A)=n- ri (i=1,2,…,s) =代数重数. 4.实矩阵在实数域内对角化,首先特征值都 是实数,且每个特征值的几何重数=代数重数. 5.实对称阵一定可以正交相似对角化 * A不同特征值所对应的特征向量线性无关. 若A有n个互异特征值,则一定有n个线性无关的特征向量. 属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关. 复习上讲主要内容 实对称阵不同特征值的实特征向量必正交. 实对称阵的ri重特征值?i一定有ri个线性无关的实特征向量. 本节主要内容 相似矩阵的概念 方阵相似对角化的条件与方法 几何重数与代数重数 实对称矩阵正交相似对角化的方法 7.2 相似矩阵 设A,B是两个n阶方阵,如果存在 可逆矩阵T, 使 T-1AT =B 则称A与B相似, 记作A~B. 从A到B 的这种变换称为相似变换, T为相似变换矩阵. 7.2.1 相似矩阵的概念 1 定义 例如 T-1ET =E, 即相似关系满足: (1) 自反性:A~A; (2) 对称性:若A~B, 则B~A; (3) 传递性:若A~B,B~C,则A~C. 矩阵的相似关系是 上的一种等价关系, 所以彼此相似的矩阵构成一个等价类, 最简单的代表元就是对角阵. 2 相似矩阵的特征多项式 定理7.2 若A与B相似, 则特征多项式同, 即 证 因A与B相似, 所以存在可逆矩阵T, 使 T-1AT =B 则 是A 的n个特征值. 推论 若n阶方阵A与对角阵 相似, ?结论成立. 3 相似矩阵有5同 (4) 迹同: (1) 特征多项式同: (2) 特征值同: (3) 行列式同: (5) 秩同: 如果A, B是两个n阶方阵, A~B.则有 但逆命题不成立即 特征值同但不相似 阵 (2)的反例如下: (1) 相似矩阵有相同的可逆性, 当A可逆时, 若A~B,则A-1~B-1, B*~A*,B*=T-1A*T . (2) 若A~B, 则Am ~ Bm, 其中m是正整数. (3) 若A~B, 设 f(x) 是一个一元多项式, 则 f (A)~f (B), 4 相似矩阵的性质 (5) 若A~B,则对?常数t有 (4) 若A~B,则AT ~ BT . 与 相似, 解 由|5E –A|=5-5x=0 x = 1 tr(A) = tr(?) y = -1. 例1 求 x , y . 两矩阵相似 等价 5 矩阵的相似与等价的关系 显然A有特征值 5,-5. 7.2.2 相似对角化的条件及方法 1 定义 若A与对角阵相似,称A可以相似 对角化. 2 相似对角化的条件 定理7.3 n阶方阵A与对角阵相似 A有n个线性无关的特征向量. A的n个线性无关的特征向量,且?的主对角线上元素是与其对应的特征值. T-1AT=?为对角阵 T的n个列向量是 证 设A与对角阵相似, 则?可逆阵T, 使 所以有 AT = T? 用T1, T2,…, Tn表示T 的n个列向量, 即 T=(T1, T2,…, Tn) (注意:证明过程给出相似对角化的方法) 即 A(T1,…, Tn)=(AT1,…, ATn)= 等式两边的列向量应当对应相等, 所以: 由T可逆知, T1,…, Tn线性无关,故是A的 n个线性无关的特征向量. 设T1,T2,…,Tn是n个线性无关的列向量, 满足: ATi =?iTi, i=1,2,…,n 如果令 T=(T1,T2,…,Tn) AT =A(T1,T2…,Tn) =(AT1,AT2,…,ATn) =(?1T1, ?2T2,…, ?nTn) =(T1,T2,…,Tn) diag(?1,?2, …, ?n) =Tdiag(?1, ?2, …, ?n) T-1AT A可相似对角化. 若A有n个互异特征值 例如, n阶单位阵E 可对角化, 但是它的 互异特征值只有1个( n重 ). 属于A的不同特征值的特征向量线性无关 问题：若A可相似对角化, 那么A一定有n个 互异特征值? 推论1 7.2.3 几何重数与代数重数 几何重数:矩阵A的每个特征值?i的特征子 空间 V?i的维数为?i的几何重数.