[课件]概率与统计2.2离散型随机变量.pptVIP

离散型随机变量 电子科技大学 §2.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律 称X 是离散型随机变量. 定义：如果随机变量X 至多取可列无穷个数值：x1, x2, … , 记 pi = P{X = xi }, 且满足 表示为 … pi … p2 p1 P{ X = xi } … xi … x2 x1 X 称 pi = P{X = xi }，i = 1,2,… 为X 的分布律. 质量分布图（分布律的直观解释） x1 x2 … xn … 质量为p1 质量为pn 总质量为1 上节例1中赌博彩金Y 是离散型随机变量，其分布律为： 0.0128 0.1282 0.3589 0.5001 P{Y = yi } 2 0.2 0.05 0 Y 产品检验试验 其它例子 对于离散型随机变量X ，由概率可加性，因 二、贝努里试验和二项分布 E1：抛一枚硬币出现正反面; E2：检查一件产品是否合格; E3：射击，观察是否命中; E4：考一门课，是否通过; 贝努里试验 特点 关注试验的两个结果: A 和 . 实际结果可能不止两个 令随机变量 贝努里试验仅有两个基本事件 ：A和 ， 记 P(A) = p 思考 怎样求X 的分布函数? p 1-p P{X=xi} 1 0 X 则X 的分布律为 称X 服从 (0－1)分布 定义 将试验E 按下述条件重复进行n次 (1) 每次试验的条件不变； (2) 各次试验的结果互不影响. 称这n次试验为n次重复独立试验. 当试验E 是贝努里试验，称这n次独立试验为n重贝努里试验 ，或称贝努里概型. 对于n重贝努里试验，可考察哪些问题，考虑哪些变量 ？ 练习 尝试写出随机变量 Y和Z的分布律. (2) 事件A 首次发生时的试验次数Y； (1) n次试验中事件A 发生的总次数X； (3) 事件A 发生k次时的试验次数Z； 定理 在n 重贝努里试验中,事件A 发生概率为P(A) = p，0 p 1，则事件A 发生的次数 X 的分布律为 事件A在指定的k 次试验中出现的概率为 证 n重贝努里试验中，事件A 发生的总次数X 可能取数值： 0，1，2，…，n. 且各种方式的事件互不相容，由概率的有限可加性可得 结论成立. 称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ～ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ～B(1, p). 从n次试验中选出k 次试验有 种不同的方式. 例子 产品抽检试验 强弱对抗试验 设备排障试验 三、泊松分布 定义：若随机变量X 的分布律为 称X 服从参数为l 的泊松分布. 记为 X ~ P(l ). 泊松分布的重要性在于: (1) 现实中大量随机变量服从泊松分布; (2) 泊松分布可视为二项分布的极限分布. 存储问题 定理 设随机变量序列Xn~ B(n , pn), n = 1, 2,…,即有 证明略. 思考：你能从条件 中分析出什么结论吗？ 注 即数列{ pn } 与 { } 是同阶的无穷小.故 1 n (2) 实际问题中, n 次独立重复试验中,“稀有事件”出现的次数可认为服从泊松分布. 当n 够大, p 较小时有 其中l = n p . 设备排障试验 例1 某种产品在生产过程中的废品率为p（0p1），对产品逐个检查，直到检查出 5个不合格品为止，试写出停止检查时已检 查的产品个数X 的分布律. 解 关键是分析随机事件{X=k}, 事件{ X = k }相当于第k 次检查到的产品 必为不合格品，而前k – 1 次检查中查出4 件 不合格品. 如指定前4次： 1 2 … 3 4 k－1 k 不合格 不合格 合格 进行 k 次检查，指定的5次检查出现不合格品的概率为 p5（1 – p ) k – 5. 故分布律为 # 从前k－1次检查中选出4 次出现不合格产品共有 种不同的方式. 例2 设有一批同类产品共有N 个，其中次品有M 个，现从中逐个有放回地取出n 个，试求取出n 件中所含的次品件数X 的分布律. 分析 产品是逐件有放回取出，各次抽到次品是相互独立的，抽n 件产品相当于做n 重贝努里试验，并 关注事件发生的总次数. 解 X ~ B(n , ). M N 故 X 的分布律为 思考：将抽取方式改为无