2.5函数的最大值与最小值.ppt

* 2．5 函数的最大值与最小值（一） 教学目的： ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间[a,b]上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 一、复习回顾 1、函数极值的概念 一般地,设函数 y = f ( x )在x=x0及其附近有定义， 如果f ( x0 )的值比x0附近所有各点的函数值都大， 我们就说 f ( x0 )是函数y= f ( x )的一个极大值， 记作：y极大值=f（x0），点 x0 是 f ( x )的一个极大值点； 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。 如果f ( x0 )的值比x0附近所有各点的函数值都小， 我们就说 f ( x0 )是函数y= f ( x )的一个极小值， 记作：y极小值=f（x0），点 x0 是 f ( x )的一个极小值点； 理解函数极值的概念 (1)函数f(x)在点x0 及其附近有定义是指在点x0及其左右邻域都有定义. (2)极值点是函数f(x)定义域中的内点,因而端点绝不是函数的极值点. (3)在极值点处,曲线如果有切线,则切线是水平的. (即函数如果有导数,则导数是0) (4,函数的极大值与极小值没有必然的大小联系,函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小. (5)可导函数的极值点一定是它导数为0的点.反之,函数的导数为0的点,不一定是该函数的极值点.因此导数为0的点仅是该点为极值点的必要条件.如:y=x3 (6)某点为极值点的充分条件是这点两侧的导数异号. 2. 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在 方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即 都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值 引题：在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小。 观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数y=f（x）的图象． 可以看到：图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数y=f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x3）． 定理： 一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值． 说明 ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 . ⑶函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间 [a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 利用导数求函数的最值步骤 由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 一般地,设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,可分为两步进行: ①求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值) ②将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 例题讲解 例1 求函数 在区间 上的最大值与 最小值． 解：先求导数,得 令 ，有 ，解得 13 4 5 4 13 y + 0 — 0 + 0 — y′ 2 (1,2) 1 (0,1) 0 (-1,0) -1 (-2,-1) -2 x 导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表 从上表可知，当x=±2时,函数有最大值是13，当x=±1时,函数有最小值是4．图象如下 例1 求函数 在区间 上的最大值与 最小值． 先求导数,得 令 ，有 ，解得 由此可知，当x=±2时,函数有最大值是13，当x=±1时,函数有最小值是4． 解法二 计算 13 4 5 13 4 课堂练习 1、课本44页 练习（1），（2） 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的