9-3第三节三重积分31.pptVIP

利用“先二后一”法 (x采用xy对换的结果) 把y看作(0,1)中的常数,可在坐标面xoz上描出Dy的草图 x z z=xy 1 y y2 y Dy表示成这样的区域,需要分成两块 注意:(1)化三重积分为三次积分,不要一步到位, 而应该采用“先一后二“或”先二后一“作为过渡, 这样不仅层次清楚,而且把非常困难的三次积分 更换次序转化为二次积分的唤序,使问题的难度 降低 (2)如果三次积分更换次序正确的话,令f(x,y,z)=1, 则两种次序的三次积分应该表示同一立体的体积. 这是一种很简便的检验方法. 这样我们可以知道更换的结果是正确的 三重积分和二重积分一样,其计算的烦简,往往与使 用的坐标系有关.在三重积分的计算中所用的坐标,除 了直角坐标有柱面坐标和球面坐标 一、利用柱面坐标计算三重积分 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． 柱面坐标与直角坐标的关系为 　如图，柱面坐标系中 的体积元素为 例1 设有一个质量均匀分别的截头直圆柱体,其下底面 在xoy平面上,上顶面在平面x+y+z=3上,侧面为圆柱面 x2+y2=1.求其质量m . 解: 设密度函数ρ(x,y,z)=μ,由 于积分区域为截头圆柱体,我们 采用柱面坐标来计算,Ω在xoy 平面的投影为圆x2+y2≤1 x+y+z=3 x2+y2=1 3 3 3 z x y 例2 计算 D z = r z=h x y z 解：把x2+y2=z2和平面 （先一后二,投影法） z=h变为柱面坐得到 其中Ω是由圆锥面x2+y2=z2和平面 z=h所围成的空间区域. 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 * * 第三节 三 重 积 分 第三节 三 重 积 分 三重积分可看作二重积分在空间形式的自然推广. 因此,它在定义及性质上和二重积分是完全类似的. 本讲中我们首先给出三重积分的定义,然后,在此基础上 给出在直角坐标系下化三重积分为三次积分的方法. 一. 三重积分的概念 设有一物体,在直角坐标系中,占有第一象限的一个闭 区域Ω,点(x,y,z)处的密度为ρ(x,y,z).这里的ρ(x,y,z)0 且在Ω上连续,现在要计算该物体的质量. 由于ρ(x,y,z)在Ω上连续,把Ω任意分为n个小块,只要 小块所占的闭区域△Vi的直径很小,这小块就可以看作 是均匀体,在△Vi上任取一点(ξi,ηi,ζi),则 ρ (ξi,ηi,ζi) △Vi (i=1,2,....n) 可看作第i个小块的质量之近似值,通过求 求和,取极限,便得到质量 这里的λ是所有的小块直径的最大值.为了使这 种和式的极限能得到广泛的应用,抛开其物理意义, 抽象出数学形式,于是得到三重积分的一般定义. 定义: 设f(x,y,z)是空间闭区域Ω上的有界函数,把 Ω任意分成n个小区域 △V1, △V2,... △Vn 其中△Vi 表示第i个小区域,也表示它的体积。在每个小区域 △Vi上任取一点(ξi,ηi,ζi) ,作乘积f (ξi,ηi,ζi) △Vi( i=1,2...n)并作和 如果当各小区域直径中最大值λ趋向零时这和式的 极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的 三重积分,记作 其中dV叫做体积元素,在直角坐标系中,体积元素 dV也记dxdydz称为直角坐标系中的体积元素,从而 三重积分也记作 （1） 当函数f(x,y,z)在Ω上连续时,(1)式右端的和式极限 必定存在,也就是函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分必 定存在,以后我们总假设函数f(x,y,z)在Ω上是连续的, 关于二重积分的一些概念都可相应地用于三重积分. 三重积分的性质和二重积分的性质类似,这里不再 重复. .在直角坐标系中三重积 分的计算方法 三重积分可化为三次积分来计算,其方法可分成 两种,(1)先求一个定积分,然后求二重积分. (2)先求 二重积分,再计算一个定积分.我们先介绍第一种方 法即先求一个定积分,然后求二重积分: 且假设平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的直线与 闭区域的边界曲面S相交不多于两点,即Ω为简单区 域,把闭区域Ω投影到xoy平面上,得到一平面闭区域 D,以D的边界为准线,作母线平行于z轴的柱面, 这柱面与曲面S的交线把S分成两部分,它们的方程分 别为S1:z=z1(x,y),S2:z=z2(x,y)其中z1(x,y)和z2(x,y)都是 D上的连续函数,且z1(x,y)≤ z2(x,y) 先把x,y看作定值,把f(x,y,z)看成z的函数,在区域 [