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第四章 概率和概率分布 一、概率与频率 必然现象：在一定条件下一定发生的现象。 必然事件：必然现象的结果。 不可能事件：在一定条件必然不会发生的事情。 例：（1）在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度，必然会沸腾。 （2）投出去的标枪必然会落到地面上。 随机事件 随机现象：在一定条件下可能发生或可能不发生的现象称为随机现象。 随机试验：任何一个试验,满足： （1）可在相同条件下重复进行； （2）每次试验得到多个结果； （3）每次试验前不能肯定这次试验将得到什么结果。 例： 投掷硬币观察哪一面向上，要求某学生投篮并了解其投篮技术，均为做了一次试验。掷硬币投篮均为随机试验。 随机事件：随机试验的结果称称为随机事件。一般以大写英文字母A、B、C等表示。 例：（1）投篮：{投中}、{投不中}是两个随机事件。 （2）掷骰子：{1点}，{2点}…，{6点}，{点数 大于3}，{点数为奇数}…，等等均为随机事件。 随机事件的概率 频率：随机事件A在n次重复实验中发生了m次则比值m/n称为随机事件A的频率。记作：W(A)=m/n。 含义：反映随机事件发生的频繁程度。 频率的稳定性：随着试验次数的增加，随机事件的频率逐渐稳定在某一个常数附近，这一特性称为频率的稳定性。 概率：随机事件A的频率W(A)随着试验次数的变化而变化，当n充分大时，频率W(A)越来越接近于一个常数p则这个常数p成为随机事件A的概率，记作p(A)即 随机事件A的概率的取值范围（0,1） 概率与频率的区别和联系 （1）概率准确地反映随机现象的内在规律，往往是未知的；频率是通过随机现象反映其内在规律，试验后，便是己知的。 （2）概率是事件发生的可能性大小的量度，不随试验次数的变化而变化，只要条件不变，每次试验中某事件发生的概率都是一样的；而频率随试验次数的变化而变化，具有随机性。 （3）随着试验次数的增大，频率呈现出稳定的趋势，围绕着概率波动，并随试验次数的无限增大，频率以概率为极限，所以，当试验次数n很大时，人们往往用频率 去近似代替概率P。 小概率事件原则 小概率事件：概率必须很小，那么，究竟要小到什么程度？在体育统计中一般认为在0.05以下为小。 小概率事件原则：小概率事件在一次试验中是不会发生的。 一次试验：若多次试验，尽管是小概率事件，也很可能发生。 原则：这是个原则，不是定理，有人为规定的含义，存在犯错误的风险，但是犯错误的概率又是小概率。所以人们共同遵循。 二、正态分布 正态分布：靠近均数分布的频数最多，离开均数越远，分布的数据越少，左右两侧基本对称，这种中间多、两侧逐渐减少的基本对称的分布，称为正态分布。 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布。 身高的分布 正态分布的概率密度函数 如果随机变量X的概率密度函数 则称X服从正态分布,记作X～N(?,?2)，其中， ?为分布的均数， ? 为分布的标准差。 正态分布图示 正态曲线：是一条中央高，两侧逐渐下降、低平，两端无限延伸，与横轴相靠而不相交，左右完全对称的钟形曲线，称为正态曲线。 正态分布是对称分布，但是对称分布不一定是正态分布。 正态分布曲线的性质 （1）曲线在X轴上方，X轴是他的一条水渐近线。 （2）它的图像是由两个参数决定的： 均数决定他的位置，即在图像在x=?处对称，并且在该处取到最大值。 标准差决定他的形状，标准差越小，图像越瘦高；标准差越大，图像越扁平。 （3）曲线与X轴之间的面积等于1。 方差相等、均数不等的正态分布图示 均数相等、方差不等的正态分布图示 标准正态分布 标准正态分布是均数为0，标准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数： 正态分布转换为标准正态分布 若 X～N(?,?2)，作变换： 则u服从标准正态分布。 u称为标准化公式（把一般的正态分布转化成标准正态分布）。 标准正态分布的重要性 一般的正态分布取决于均值?和标准差 ? 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表。 （2）已知u落在某个区间的概率p0，求u。 （3）已知x值,求x落在某个区间的概率. 总结关于查表的四种情况 正态曲线下的常用面积 正态曲线下的常用面积 正态分布的应用 （1）利用正态分布估计实际情况 例9：某大型网球中心，每天接待的人数x服从正态分布，其均数?=800 人，标准差?=150 人，试求：每天接待人数在