创新设计2011第三章数列3-13.ppt

理解等比数列的概念/掌握等比数列的通项公式/掌握等比数列的前n项和公式 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ；公比通常用字母q表示(q≠0)，即： ＝q(n≥2，n∈N)． 2．等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1；an＝am·qn－m(a1·q≠0) 提示：等比数列从定义到通项公式的推导和形式都可以看作是等差数列的运算升级． 3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项． 4．等比数列的前n项和公式 提示：等比数列的前n项和公式的推导使用的是“错位相减法”，在使用公式时要判断公比q≠1，或q＝1. 思考：是否存在既是等差又是等比数列的数列？ 答案：存在，可以证明既是等差又是等比数列的数列一定是非零常数列． 1．关于数列：3,9…，2 187，以下结论正确的是(　　) A．此数列不是等差数列，也不是等比数列 B．此数列可能是等差数列，但不是等比数列 C．此数列不是等差数列，但可能是等比数列 D．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列 解析：由前2项可设通项an＝6n－3和an＝3n，代入检验即可． 答案：D 2．“b＝ ”是“a、b、c成等比数列”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 3．已知等比数列{an}中，a3＝ ，S3＝ ，则q＝________. 即2q2－q－1＝0.整理得(2q＋1)(q－1)＝0，∴q＝－ 或q＝1. 答案：－ 或1 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________． 解析：根据已知条件4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1·q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，整理得：3q2－q＝0，又q≠0.∴q＝ . 答案： 1. 对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用． 2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1的判断和讨论． 【例1】设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式． 解答：解法一：在等比数列{an}中，由S4＝1，S8＝17，则q≠1， 因此 ②÷①得q4＋1＝17，则q4＝16，∴q＝2，或q＝－2，由q＝2代入①得 a1＝ ， 由q＝－2代入①得a1＝－ ，所以数列{an}的通项公式为an＝ ·2n－1或 an＝(－ )·(－2)n－1. 解法二：q4＝ ＝16，则q＝2，或q＝－2.又S4＝1， 当q＝2时，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得：a1＝ ，因此an＝a1qn－1＝ ； 当q＝－2时，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得：a1＝－ .因此an＝a1qn－1＝－ 变式1. 已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列． (1)求q的值； (2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2 时，比较Sn与bn的大小，并说明理由． 解答：(1)∵{an}是公比为q的等比数列，2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q， 则2q2－q－1＝0，即(2q＋1)(q－1)＝0，因此q＝1或q＝－ . (2)当q＝1时，bn＝2＋(n－1)＝n＋1.Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝ 当n≥2时，Sn＞bn； 当n＝10时，Sn＝bn；当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n≥11时，Sn＜bn. 1. 对于等比数列的相关证明可类比等差数列的有关问题． 2．要证一个数列不构成等比，只需证明存在m、n∈N*(m≠n)，使得 即可． 【例2】(1)已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－Pcn}为等比数列，求 常数P；(2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn， 证明：数列{cn}不是等比数列． 解答：(1)因为{cn＋1－Pcn}是等比数列，故有 (cn＋1－Pcn)2＝(cn＋2－Pcn＋ 1)(