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* * 一、向量组的极大线性无关组 定义2.11 2.4 向量组的秩 例1 线性无关 注：1、极大无关组一般来说不唯一。 2、极大无关组所含向量的个数相同。 3、只由一个零向量构成的向量组不存在极 大无关组，一个线性无关向量组的极大 无关组就是该向量组本身。 例： 定义2.12 如果向量组(1)的每一个向量都可以由向量组(2)线性表出,则称向量组(1)可由向量组(2)线性表出;如果向量组(1)和向量组(2)可以互相线性表出,则称向量组 (1)和(2)等价.记作 例: 等价具有如下性质 (1) 反身性:任一向量组与其自身等价 向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组之间等价 如果向量组 例2 定理2.8 推论 定理2.9 两个等价的,并且都线性无关的向量组所含的向量 个数相同。 一个向量组的任意两个极大无关组所含的向量个数相同 推论2 推论3 注：两个向量组等价，所含向量个数未必相 等。（线性无关条件不能省略） 例 定义2.13 注： 例 定理2.10 例3 例：P113：21 二、向量组的秩与矩阵的秩的关系 定义2.14 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩. 设矩阵 求A的行秩和A的列秩、A的秩。 例4 定理2.11 矩阵的行秩与列秩相等且为矩阵的秩. 例5 将矩阵A化为等价标准形,并求r(A), 其中 例6 定理2.12 1、矩阵的初等行（列）变换不改变 其列（行） 向量组的线性关系。 2、求列向量组的极大无关组的方法： （1）以向量组中各向量作为矩阵的列； （2）对所构成的矩阵施行行初等变换，将矩阵 化为阶梯型矩阵； 注： （3）阶梯型矩阵中，每一台阶取一列，则对应 的向量所构成的向量组即为极大无关组。
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