概率论课件第1章第4讲概率的公理化定义及概率的性质.ppt

类似可证其他. 例1 AB=φ，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8,求B的逆事件的概率。 1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B). 2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(Ω-AB) * * 设Ω为试验E的样本空间，若 ①试验Ω的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点; ②每个样本点发生具有等可能性 ; 则称E为几何概型。 几何概型 (等可能概型的推广) §1.4 概率的公理化定义及概率的性质 (1)几何概型 设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随机点M，且D含在Ω内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为: 几何概型概率的定义 注： 及 在 是区间时 ，表示相应的长度；在 是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积. 例1. 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率. 9点 10点 10分钟 几何概率的性质： 非负性 规范性 两两互不相容． 可列可加性: 设 例2 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率. 设：船1 到达码头的瞬时为 x ，0 ? x 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 ? y 24 事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头． 解: x y 24 24 y = x y = x + 1 y = x - 2 注：用几何概型可以回答例1.2.4中提出“概率为1的事件为什么不一定发生?”这一问题。 0 x 1 Y 1 如图，设试验E 为“ 随机地向边 长为1 的正方形内黄、蓝两个三 角形投点”事件A为“点投在黄、 蓝两个三角形内”,求 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生. 概率的公理化定义 前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性. 为了克服这些局限性，1933年，俄数学家柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率论的发展奠定了理论基础。 概率的公理化的定义: (2)规范性 (1)非负性 设 是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一个事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足： (3)可列可加性设 两两互不相容，则： 则称P(A)为事件A的概率. (3) P(A-B)=P(A)-P(AB), P(Ω-A)=1 - P(A). 若A是B的子事件, 则P(B-A)=P(B) - P(A)； P(A)≤P(B); (4) P(A+B)=P(A)+P(B) - P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) -P(BC)+P(ABC) 加法公式可推广到有限个事件的情形.设 是n个随机事件,则有 =P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=P[A+(B-AB)] =P(A)+P(B-AB) P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB). A=(A-B)+AB,A-B和AB为互斥事件,所以由(2)得 证明 (4) 证明 (3) 得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2， 解: 由 思考 在以上条件下，P（A-B）=？ P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B) 所以， =1-0.2=0.8 例2 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15 ,求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(A+B). 解 由已知得, P(A)=0.6， P(AB)=0.1, 则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5 P(B-A)=P(B)-P(AB） 又因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), 所以，P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB) =0.85-0.6+0.1=0.35 从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25 例3 某人一次写了n封信,又