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§1.2 概率的定义及其性质 几何定义 统计定义 古典定义 概率的公理化定义 课程邮箱：buaaprobability @126.com 密 码： 111222 我的邮箱：jqx_zhq@ 定义 设 E 是一随机试验，它具有下列特点： 基本事件的个数有限 每个基本事件发生的可能性大小相同 则称 E 为 等可能概型 等可能概型中概率的计算： 记 则 等可能（古典）概型 非负性： 规范性： 有限可加性： 其中 为两两互斥事件。 古典概型的性质： 例1.从1至9这九个号码中，随机的取4个号码， 数码之和为奇数的概率p= 例2 投掷三颗骰子，其中一个出现点数为5， 而另外两个出现的点数不同且不等于5的概 率为 例3 5个有区别的球随机的放入10个盒内，求 恰有且仅有2个球放在同一盒内的概率。 以放球的方法为 样本！ 例4 （分房问题）设有 k 个不同的球，每个球 等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每 个盒子容纳的球数无限，求下列事件的概 率 （1）某指定的 k 个盒子中各有一球； （2）恰有 k 个盒子中各有一球； （3）某指定的一个盒子没有球； （4）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( )； （5）至少有两个球在同一盒子中 解 设（1）~（5）的各事件分别为 则 例5 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时 间短于十分钟的概率 9点 10点 10分钟 几何概型 ( 等可能概型的推广) 几何概型 设样本空间是一个有限区域S，若样本点 落入S内任何区域A 中的概率与区域A 的测度 成正比，则样本点落入A内的概率为 非负性： 规范性： 有限可加性： 其中 为两两互斥事件。 几何概型的性质： 可列限可加性： 其中 为两两互斥事件。 例6 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码 头的时间各不相干，而且到达码头的时间在 一昼夜内是等可能的. 如果两船到达码头后 需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待 空出码头的概率. 解 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0 ? x 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 ? y 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头 x y 24 24 y = x y = x + 1 y = x - 2 定义 设在 n 次试验中，事件 A 发生了nA 次， 则称 为事件A 在这 n 次试验中发生的频率 统计定义—频率 频率的性质 事件 A, B互斥，则 可推广到有限个两两互斥事件的和事件 非负性 规范性 可加性 稳定性 投一枚硬币观察正面向上的次数 Buffon n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 Pearson n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005 频率稳定性的实例 蒲丰投币 皮尔森投币 例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同： A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006 概率的公理化定义 设 ? 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理： 非负性： 规范性： 可列可加性： 其中 为两两