仿射变换原理解析.ppt

* 仿射变换 1. 透视仿射对应 定义 对于空间中两平面?, ?, 给定一个与两平面不平行的投射方向, 则确定了?到?的一个透视仿射对应(平行投影). ?上任一点P在?上的像即为过P且平行于投射方向的直线与?的交点P. 注1. 透视仿射对应的基本性质 　 (1) 使共线点变为共线点的双射, 且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线； 　 (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变. 注2. ?, ?的交线称为透视仿射的轴. 若?//?则没有轴. 仿射变换 2. 仿射变换 定义 对于空间中一组平面?, ?1, ?2, …, ?n, ?, 设以下对应均为透视仿射对应： 则称这n个透视仿射的积?为?到?的一个仿射对应. 若???, 则称?为平面?上的一个仿射变换. 注. 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； 　 (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变. 仿射变换 定义 设?为平面?上的一个点变换, 满足 (1) ?为一个使共线点变为共线点的双射； (2) ?使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) ?使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称?为?上的一个仿射变换. 定理 仿射变换是双射.设A表示平面上全体仿射变换的集合. 则有 (1) ??, ??A, 有???A. (2) 恒同变换i?A. (3) ???S, 存在??1?A, 满足???1???1??i. 上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群, 叫做仿射变换群. 而且M?S?A. 仿射变换 3. 仿射坐标系 定义 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向量ex, ey, 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作O-exey. 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式唯一确定, 反之, 对任意给定的有序实数偶(x, y), 由(1.12)式可唯一确定仿射平面上的一个点具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面称为仿射平面, ex, ey称为基向量. 注 若ex, ey为单位正交向量, 则O-exey成为笛卡儿直角坐标系. 仿射变换 定理 设在平面?上取定了一个仿射坐标系O-exey, 点变换?为?上的一个仿射变换??有表达式 其中(x, y)与(x, y)为任一对对应点P, P 的坐标, 矩阵 满足|A|?0, 称为仿射变换?的矩阵. 平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的几何性质与几何量. 由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行性、共线三点的简单比有关. 定理 平面?上的仿射变换?将一个仿射坐标系O-exey变为另一个仿射坐标系O-exey. 仿射变换 一、正交变换 定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上的一个正交变换. 定理 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合. 则有 (1) ??, ??M, 有???M. (2) 恒同变换i?M. (3) ???M, 存在??1?M, 满足???1=??1?=i. 注：设?为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 ?(A)=A, ?(B)=B , 则|AB|=|AB|. 上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群. 几种特殊的仿射变换 定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, ?为正交变换, 且上述三点在?下的像依次为A, B, C. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变换的定义有 即A, B, C仍然为共线三点且B在A, C之间. 若A, B, C不共线, 则必有 即A, B, C仍然为不共线三点. 几种特殊的仿射变换 定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, ?为正交变换, 且上述三点在?下的像依次为A, B, C. 设A, C分别在?B两边上且异于B, 则A, B分别在?B的两边上. 且|AB|=|AB|, |BC|=|BC|, |