信号与系统第2章.ppt

第二章 傅立叶变换 第二章 傅立叶变换 第二章 傅立叶变换 第二章 傅立叶变换 第二章 傅立叶变换 （2）周期信号的傅里叶变换 周期为T的信号可用傅立叶级数表示为 其中Cn是f(t)的指数傅立叶级数的系数,且 f(t)博立叶变换为： 该式表明：周期信号f(t)的傅里叶变换F(ω)是由一些冲击函数组成的，并位于基波ω1的整数倍处，冲击强度为f(t)的指数傅里叶级数的系数Cn的2π倍。 第二章 傅立叶变换 例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。 傅里叶级数为 例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 第二章 傅立叶变换 矩形脉冲信号f(t)的傅里叶系数为： ① f(t)的傅里叶级数为 ②周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为 ③单脉冲f0(t) 的傅里叶变换为 第二章 傅立叶变换 Cn, F(ω), F0(ω)具有相同的包络线。 第二章 傅立叶变换 12 抽样信号的频谱 ， f(t)：表示连续时间信号 fs(t):表示被采样以后的离散信号 p(t)：表示抽样脉冲序列 第二章 傅立叶变换 在信号分析中，经常将信号从时域表示转换到某一变换域表示，即对信号进行线性变换,常见的变换有： （1）连续时间信号的傅立叶变换； （2）拉普拉斯变换； （3）离散时间信号的z变换。 拉普拉斯变换是傅立叶变换的一种推广。z变换则是傅立叶变换在离散时间序列中的普遍化。 1周期信号的频谱分析——博立叶级数 ①基函数：三角函数，指数函数； ②利用傅里叶级数研究周期信号的频谱特性 第二章 傅立叶变换 2 三角函数的傅里叶级数 三角函数集： 可以证明该函数集即为正交函数集。 任何一个周期函数f(t)都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示。 上述第一项为信 号的直流分量。 第二章 傅立叶变换 3 傅里叶级数的三角形式 An 称为幅度频谱. 称为相位频谱. 第二章 傅立叶变换 4 指数函数的傅里叶级数 指数函数集： 这是一个完备正交函数集。 任何一个周期函数f(t)都可以用指数函数集中各函数分量的线性组合来表示。 5 傅里叶级数三角形式与指数形式之间的关系 6 典型周期函数的频谱 设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E，周期为T,信号在一个周期内的表达式为： 将f(t)展开成指数形式傅立叶级数: 这里 Basic Laws 第二章 傅立叶变换 若:（1） （2） （3） 表示方法：幅度为正表示相位为0，幅度为负，表示相位为π。 Basic Laws 第二章 傅立叶变换 特点： ① 离散线状频谱只出现在 的整数倍上。 ②其包络线按抽样函数的规律变化。 ③谱线的幅度变化呈现收敛状态，能量主要集中在第一个过零点之 内。 ④信号的时宽与频宽成反比。 ⑤T不变:?ω1不变。 T增加：各分量幅度减小，ω1下降，谱线变密。 τ减小：各分量的幅值减小，信号带宽增加。 7 非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换的导出： ① 非周期函数可以认为是周期T=∞时的周期函数。 ② T趋于无穷大时，谱线间隔趋于无限小，离散频谱就成了连续频谱，各分量幅度趋于无穷小。 第二章 傅立叶变换 设周期信号f(t)展成指数傅立叶级数为： 可见 为单位频率内的能量，一般记： 第二章 傅立叶变换 定义：F(ω)为频谱密度函数。 为幅度频谱，为ω的偶函数. 为相位频率谱，为ω的奇函数. 同样可以推导出： 第二章 傅立叶变换 可见： ① 非周期信号和周期信号一样，可分解为许多不同频率的正弦分量。 ② 非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，包括了从零到无穷大的所有频率分量。 ③ 傅里叶变换存在的充分条件（狄利赫条件)： 第二章 傅立叶变换 8 典型非周期函数的频谱 （1）矩形脉冲信号 其数学表达式为： 矩形脉冲频谱是: 幅度谱： 相位谱： 第二章 傅立叶变换 比较典型周期信号和非周期信号的频谱，可以看出: 非周期单位脉冲的频谱函数曲线与周期矩形脉冲离散频谱的包络线形状完全相同，都具有抽样函数的形状,单脉冲频谱也具有收敛性，信号的绝大部分能量集中在低频段。 第二章 傅立叶变换 (2) 单边指数函数的傅里变换 已知单边指数信号如图所示， 其表示式为: 其幅度谱和相位谱分别为： 第二章 傅立叶变换 (3) 双边指数函数 双边指数函数如图所示，其表示式为 其频谱函数为 幅度谱和相位谱分别为 第二章 傅立叶变换 （4）单位冲激信号 单位冲激信号的傅立叶变换是 当τ趋于0时，矩形脉冲变成δ(t)信号，其相应频谱的第一个零点(2π/τ)将移到无穷远处。 “均匀谱”或“白色频谱”: 信号δ(t)的频谱在整个频率范围内均匀分布. 第二章 傅立叶变换 (5) 单位阶跃函数（不符合绝对可积的条件