牛顿迭代法的基本思想.pptVIP

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2017-06-04 发布于北京
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牛顿迭代法的基本思想.ppt

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4 Newton迭代法的基本思想设是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在处作泰勒展开若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性方程设 ,令其解为 ,得（1) 这称为f(x)=0的牛顿迭代格式。牛顿法的几何意义由（1）式知是点处的切线与X轴的交点的横坐标（如图）。也就是说，新的近似值是用代替曲线y=f(x)的切线与x 轴相交得到的。继续取点 ,再做切线与x轴相交，又可得。由图可见，只要初值取的充分靠近 ,这个序列就会很快收敛于。 Newton迭代法又称切线法牛顿迭代法的步骤步一、准备。选定初始近似值，计算步二、迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值，计算步三、控制。如果满足。则终止迭代，以作为所求的根；否则转步四。此处是允许误差, * * 下一页它对应的迭代方程为显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为在 f(x)=0的根的某个邻域内, 在的邻域R 内，对任意初值，应用由公式（1）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一. 返回下一页上一页下一页上一页返回返回下一页上一页返回下一页上一页而。其中c是取绝对值或相对误差的控制常数，一般可取c=1。步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者则方法失败；否则以代替转步二继续迭代。返回下一页上一页例题例1:用牛顿法求下面方程的根解因 ,所以迭代公式为选取 ,计算结果列于下表从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了四次迭代就得到了较满意的结果. 返回下一页上一页例2 计算的近似值。 ?=10-6 x0=0.88 解：令x= 问题转化为求?(x)= x2-0.78265=0的正根由牛顿迭代公式 xk+1= xk-?(xk)/?(xk)= xk/2+0.78265/2xk 迭代结果 k 0 1 2 3 xk 0.880000 0.884688 0.884675 0.884675 满足了精度要求? =0.884675 返回下一页上一页返回下一页上一页 2)修正Newton法求m重根迭代公式注：若是方程的m重根，而在的某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具有至少二阶的收敛速度。因为：上一页下一页返回考察函数用定义求导 Tailor展开所以由定理2知至少是二阶收敛上一页下一页返回