分数阶Fourier变换在信号处理中的应用研究.doc

分数阶Fourier变换在信号处理中的应用研究 分数阶Fourier变换（FrFT）因其具有许多传统Fourier变换不具备的性质受到众多研究人员的关注，在很多科学研究和工程技术领域均有应用。如量子力学[1-4]、光学系统和光信号处理[5-6]、光图像处理[7-9]等。FrFT之所以首先在光信号处理中得到了应用，是因为光学实现相对比较容易，而直到20世纪90年代中期，由于提出了多种分数阶Fourier变换的离散化方法及其快速实现算法，才使得FrFT真正的在电信号处理领域中体现出其应用价值[10-12]。 FrFT作为一种新的信号分析工具，在信号处理领域中具有非常广泛的应用前景。近几年，新的研究成果也不断涌现。从处理方法的角度来分析，目前国内外对FrFT的应用研究主要围绕以下几种思想： 1）利用FrFT的聚焦性。直接将传统Fourier变换的某些理论和应用推广到分数阶Fourier变换域。传统的Fourier变换通常用于平稳信号的分析与处理，对于非平稳信号、时变信号的分析处理能力则失效，而FrFT对该类信号表现出良好的分析能力。传统Fourier变换可以理解为信号在一组完备正交的正弦基上的展开，因此正弦信号的Fourier变换是一个冲激函数；FrFT则可以理解为信号是在一组正交的Chirp基上的展开，相应的，Chirp信号在某个特定阶次的FrFT也是一个冲激函数，我们称其为聚焦性。聚焦性对分析和处理Chirp类信号是十分有利的，其直接应用就是对Chirp信号进行检测和参数估计。正是由于Chirp信号广泛应用于通信、声纳、生物医学等领域中，尤其是现代雷达系统，因此基于FrFT的分析与处理算法被用于雷达信号处理中的多目标检测与跟踪、SAR与ISAR成像、运动参数估计等技术中[13-17]。 2）利用FrFT的时频旋转特性。一个信号的FrFT的Wigner分布是原信号Wigner分布的坐标旋转形式。FrFT的这种时频旋转特性对于分析与处理非平稳信号是十分有利的。在实际工程应用中，有用信号的提取与噪声的抑制是一项十分重要的课题。传统滤波方法一般只限于频域加窗或遮隔处理，但是当信号与噪声之间存在较强的时频耦合时，传统的滤波器难以有效实现信噪分离。此时，利用FrFT将坐标轴旋转到合适的角度，在新的分数阶Fourier变换域上解除信号与噪声之间的耦合，可实现噪声的完全滤除和信号的无失真恢复。这就是分数阶Fourier域滤波的基本原理[18-22]。 3）利用FrFT与短时Fourier变换、小波变换、Wigner分布、Radon-Wigner变换等时频分析工具的内在联系，改进了一些非平稳信号的处理方法，并进一步扩展了FrFT的应用领域。如Radon-Wigner变换经常用于分析各种时变信号，而FrFT与Radon-Wigner变换之间的关系表明：信号FrFT后的模平方恰好是该方向上的Radon-Wigner变换。基于这一关系，Radon-Wigner变换的许多研究成果均可以直接应用到FrFT中。此外，在某些场合，用FrFT来替代其他的时频变换还可以带来一些优势，如FrFT可以借助FFT实现，计算方法较为简便；另一方面，FrFT是一种一维线性变换，在多分量信号情况下，可以有效地避免交叉项的干扰[23-24]。 本文从分数阶Fourier变换的定义、离散化方法及其应用三个层面对分数阶Fourier变换的理论体系进行阐述。具体内容如下：首先，介绍了分数阶Fourier变换的定义；然后，阐述了分数阶Fourier变换的离散化算法，对各种离散化方法进行了对比，重点分析了离散采样型分数阶Fourier变换的计算方式；第三部分介绍了分数阶Fourier变换在信号处理中的应用，包括数字水印、信号检测与参数估计、生理信号去噪；最后，对全文进行总结，对今后的研究方向进行了展望。 1分数阶Fourier变换定义 分数阶Fourier变换又称为角度Fourier变换（AFT）或者旋转Fourier变换（RFT），其函数的FrFT定义如下[25]: （1） 设，，则核函数 （2） 其中，为时频平面的旋转角度，为FrFT的阶次，表示FrFT算子，表示单位脉冲函数。从中可以发现，FrFT以4为周期，当且仅当（即）时，FrFT的结果为，1（即）时，FrFT为Fourier变换，2（即）时，FrFT的结果为，3（即）时，FrFT的结果为负的Fourier变换。因此只需对进行分数阶Fourier变换。 根据式（1）和式（2），FrFT的定义式改写为： ， （3） 2分数阶Fourier变换离散化 FrFT自诞生以来，凭借自身的优势和广阔的应用潜力在各个领域中受到广泛的关注，如同快速傅里叶变换(Fast Fourier Tran