柯西积分公式与高阶导数.ppt

山东大学数学院 例1 计算 (沿圆周正向) 定理: 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为: 例3 证明：若 为调和函数且不等于常数， 则 不是调和函数。 查看原题 查看原题 查看原题 例6 设 满足下列关系，求解析函数 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform * 山东大学数学院 主讲： 郑修才 复变函数与积分变换 大学数学教程 柯西积分公式 若 f (z) 在D内解析，则 分析： 一、柯西积分公式 (1) 上述公式称为柯西积分公式.通过该公式可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值表示出来。 解 由公式(1)得 例2 解： 二、解析函数的高阶导数 其中 为函数 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 。 一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各 阶导数.这一点与实变函数完全不同, 关于解析函数的高阶导数我们有: 例3 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r 1. 高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于利用求导计算积分. 解析函数与调和函数的关系 定义1 若 (称此为调和方程或Laplace方程) 定理1： 证明： 同样可得 且u, v有任意阶连续偏导数 注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 不一定是解析函数 . 例如： 定义2 定理2： 在区域D内解析 解析函数的虚部必为实部的共轭调和数 已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。 例1 已知调和函数 求一解析函数 解：（法一） 由 C-R 方程 于是 （法二） (0,0) (x,y) (x,0) （法三） 例2 证明：函数 都是调和函数但 不是解析函数。 证 由于 所以 故 是全平面上的调和函数， 除原点外在全平面上调和。但 ,不满足C-R条件，所以 不是解析函数。 证 因为 为调和函数，所以 又 同理 例4求形如 的最一般的调和函数。 并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。 令 故 即 的一般形式的调和函数为 其中 为任意常数。 因为 所以 令 ，得 即知 于是 例5 查看答案 查看答案 查看答案 查看答案 查看答案 查看答案 查看原题 查看原题 查看原题 查看原题