短期聚合风险模型.pptVIP

* * 第六章 短期聚合风险模型 [知识要点] 1、? 短期聚合风险模型 对于 ,其中N表示保险期内所有承保保单发生索赔的 次数随机变量，Xi 表示第I次发生理赔时的理赔额随机变量，S为保险期内的理赔总额随机变量。 Xi 对不同的i是独立同分布的，N 与各Xi是独立的。称此模型为短期聚合风险模型。 2、? 理赔次数和理赔额的分布 （1）?????? 泊松分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数： （2）?????? 负二项分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数。 负二项分布可以看作是泊松分布的一种推广，假设泊松参数也是一个随机变量，且有密度函数f(x)，由全概率公式有： 而： 特别地，当λ的密度为 ，x＞ 0时，N服从参 数r = a ,p= β /1+ β 的负二项分布。 （3）S的分布问题 假设S的分布函数和密度函数分别为F（x）和f(x),则： 除用卷积方法之外，还可以用矩母函数法及逆转公式来求S的分布，由矩母函数的定义有： 其中X是与各Xi 同分布的随机变量。 也就是说，若知道Xi 和N的矩母函数，就可计算出S的矩母函数， 而 4、复合泊松分布 在聚合风险 中，当N服从泊松分布时，S的分布就称 为复合泊松分布。这样：E（S）=E（X）?E（N）=λ ?E（X） 其中λ 为泊松参数。 关于复合泊松分布有如下的几个定理和规律： （1）如果S1，S2，… ，Sm是相互独立的随机变量，且Si服从参数为λi 的复合泊松分布，理赔额的分布为Pi(x),i=1,2,…,m,则 服从参数为 的复合泊松分布，且个别理赔 额分布为： （2）对于一个复合泊松分布随机 ，可以分解为： 个别理赔额的分布列为： p1 p2 … pm P x1 x2 … xm X 则N1，N2，…，Nm相互独立且Ni服从参数为λ i=λ pi的泊松分布，其中λ 为S的泊松参数。 对于此定理，若xi仅取正整数值，则理赔总额S的密度函数为： 对于此定理，还有更普遍的推广，也就是说在聚合风险模型中，若理赔额只取正整数，理赔次数N的分布满足： (n=1,2,…) （3）在复合泊松分布中，若保险标的损失随机变量为X，保险合同有一个免赔额d，即 ，Xd , X≤ d 是其真正的理赔额随机变量，泊松参数为λ ，则带免赔的理赔总额S仍是复合泊松分布，泊松参数变为λ ?P（x d),个别理赔额的分布密度函数为： 5、聚合理赔量的近似模型 （1）正态近似 定理 如果S是复合泊松分布，泊松参数为λ ，个别理赔额的数学期望μ 与方差σ 2有界，则： 定理 如果S服从复合负二项分布，参数为r,p,个别理赔额随机变量的数学期望与方差分别为有界的μ 与σ2 ，则： （2）平移伽马近似 定义 其中，g（x）为 Γ(α,β) 分布的概率密度函数，h（x）为相应的平移x0个单位的平移伽马分布的概率密度函数。 由定义知平移伽马分布有三个参数x0， α,β，如果能定出这三个参数，这个分布也就已知。求解下面的方程组可解决这一问题： [重点及难点解析] 本章的重点内容是复合泊松分布，包括当个别理赔额是正整数时的复合泊松分布，另外，理赔总额S分布的正态近似及平移伽马近似也是本章的重点内容。 当然，对重点内容可以进行引申，譬如当索赔次数分布为负二项分布、几何分布、超几何分布、二项分布等；更简单的还有二点分布，这时聚合风险模型与个别风险模型有相通之处。当然，个别索赔额的分布形式更加多样，特别是当