2-11第11讲 导数的应用(Ⅰ).ppt

考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练 第11讲　导数的应用(Ⅰ) 增函数 减函数 f′(x)＜0 f′(x)＞0 极大值 f(a)，f(b) 考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练 【2013年高考会这样考】 1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间． 2．利用导数求函数的极值． 3．利用导数求闭区间上函数的最值．【复习指导】 本节复习时，应理顺导数与函数的关系，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用．重点解决利用导数来研究函数的单调性、极值、最值的问题；本节知识往往与其他知识结合命题，如不等式知识等，还应注意分类讨论思想的应用． 基础梳理 1．函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0f(x)在(a，b)为； f′(x)≤0f(x)在(a，b)为． 2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 求f′(x)； 求方程f′(x)＝0的根； 检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 一个步骤 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围． 当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间． 一个防范 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． 两个条件 (1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件． (2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)．A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析　f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)＞0得x＞2. 答案　D 2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)． A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－1，极大值3 D．极小值－2，极大值2 解析　y′＝3－3x2，令y′＝0得：x＝±1. 则有 x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) y′ － 0 ＋ 0 － y 减 极小值－1 增 极大值3 减 由表可知，C正确． 答案　C 3．(2011·深圳调研)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)． 解析　当x＜0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＜0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x＞0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意． 答案　D 4．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是(　　)． A．－ B．－ C．－4 D．－ 解析　f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x[0,2]只有x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－.可知最小值为－. 答案　A 5．(2012·扬州检测)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 解析　f′(x)＝3x2＋2x＋m，由f′(x)≥0，得m≥－3x2－2x，令g(x)＝－3x2－2x，则g(x)＝－32＋≤.m≥. 答案　　 考向一　运用导数解决函数的