2.7-8 函数的连续性与间断点,连续函数的运算_7481_975_20100926075705.ppt

函数与极限 一、函数的连续性及其运算 二、连续函数的运算 三、初等函数的连续性 三、小结 * 函数与极限 函数的连续性和间断点 连续函数的运算 初等函数的连续性 §2.7-8 函数的连续性及其运算 1.函数的连续性 例1 证 由定义2知 单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 例3 证 函数的间断点 跳跃间断点 例4 解 可去间断点 例5 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 第二类间断点 例6 解 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: 例8 解 * 作业 习题2.7 (第45页) 1(1)，2(3)-(6)，7(1)； 阅读4，5，6. 2.7 函数的连续性与间断点 定理1 例如, 1.连续函数的四则运算法则 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 2.反函数和复合函数的连续性 定理3 证 将上两步合起来: 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 定理4 注意　定理4是定理3的特殊情况. 例如, 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. ★ (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意　 注意　2. 初等函数求极限的方法代入法. 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 4. 连续函数的和差积商的连续性. 6.复合函数的连续性. 7. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 两个定理; 两点意义. 5. 反函数的连续性. * *