2003-2004(二)高等代数期末试题B - 副本.doc

系 班 姓名 ------------密------------封------------线------------ 题号 一 二 三 四 总分 得分 2003年---2004年第二学期 数学系2003（本）高等代数期末试题（A） 一、填空题：（15分，每小题3分） 1、若是W1，W2是V的两个有限维子空间，则dimW1+dimW2 dim（W1+W2），当且仅当 时，等号成立。 2、设{}是V的一个基，（）=（）A，则当A是 矩阵时，{}也是V的基。 3、在R3中，线性变换（x1，x2，x3）=（x1，0，x3）只有特征根 。 4、n维欧氏空间V中向量在标准正交基{}下的坐标是（x1，x2，… ，xn），那么（）= ，||= 。 5、如果W是域F上有限维线性空间V的一个子空间，则W在V中的余维数为 。 二、选择题：（15分，每小题3分） 6、一个实二次型可以分解成两个不成比例的实系数一次齐次式，则它必有（ ） A 秩为2且符号差为2； B 秩为0； C 秩为2且符号差为0； D 秩为1。 7、若把同构的子空间称作一类，则n维向量空间的子空间共分成（ ） A 1类 ； B 2类； C n类； D （n+1）类。 8、设线性变换在基{}下的矩阵是，在{}下的矩阵是（ ）。 A ；B ；C ； D 。 9、n维欧氏空间V的一个线性变换关于任意标准正交基的矩阵为实对称矩阵是为对称变换的（ ） A 充分而不必要条件；B 什么条件都不是；C必要而不充分条件；D充分必要条件。 10、正确的断语是（ ） A 线性变换在一个基下可以对角化，则在任何基下可以对角化； B线性变换在一个基下不可以对角化，则在任何基下都不可以对角化； C线性变换在一个基下可以对角化，则在无限多个基下可以对角化； D线性变换在无限多个基下不可以对角化，则在任何基下不可以对角化。 三、计算题：（共50分） 11、在中；给定一个内积为，求的一个标准正交基。（7分） 12、求矩阵的若当标准形。（7分） 13、设，（1）证明：当时，有；（7分）。（2）求。（7分） 14、设数域K上的n级矩阵A满足，判断A是否可以对角化。（7分） 15、设是R3的线性变换，。求： （1）的值域V的一组基和维数；（7分） （2）的核的一组基和维数。（8分） 四、证明题：（共20分，其中17小题（2）选作，不计入总分） 16、设是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明为对称变换的充要条件为有n个两两正交的特征向量。（10分） 17、设数域F上n维向量空间V的线性变换在基下的矩阵为 试证明：（1）若V0是的一个不变子空间，且则都属于V0；（10分） （选作）（2）{0}，是的全部--子空间。（10分）