2012高考数学二轮专题第5讲：导数及其应用.ppt

* / / 第5讲　导数及其应用 【高考真题感悟】 (2011·江西)设f(x)＝x3＋mx2＋nx. (1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式； (2)如果m＋n10 (m，n∈N*)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a) 解　由题意得g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2＋(n－3)－(m－1)2，已知g(x)在x＝－2处取得最小值－5，所以解得 故所要求的解析式为f(x)＝x3＋3x2＋2x. (2)因为f′(x)＝x2＋2mx＋n，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m2－4n0，即m2n. 不妨设这两个不同的根为x1，x2，则|x2－x1|＝2为正整数． 故m≥2时才可能有符合条件的m，n. 当m＝2时，只有n＝3符合要求． 当m＝3时，只有n＝5符合要求． 当m≥4时，没有符合要求的n. 综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求． 考题分析　本题主要考查了函数的性质，以及导数在研究函数问题中的应用，突出了函数的工具性作用，同时考查了学生对分类讨论思想的理解和应用． 易错提醒　(1)易忽视二次函数的最小值与对称轴的关系． (2)易忽视函数的单调性与导函数的关系． (3)不能正确地从问题中提炼条件是致误的关键． (4)易忽视分类讨论． 主干知识梳理 1．导数的几何意义 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)． (2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)． 2．基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈N*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ (2)导数的四则运算法则 ①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． ②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． ③[]′＝(v(x)≠0)． 3．函数的性质与导数 (1)在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增； 在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根； ③判定根两侧导数的符号；④下结论． (3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f′(x)； ②求f′(x)＝0的根(注意取舍)； ③求出各极值及区间端点处的函数值； ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)． 热点分类突破 题型一　导数几何意义的应用 例1　已知曲线y＝x3＋. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程． 思维启迪 “该曲线过点P(2,4)的切线”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2,4)的切线中，点P(2,4)不一定是切点；在点P(2,4)处的切线中，点P(2,4)是切点． 解　(1)所求切线的斜率为y′|x＝2＝22＝4，故所求的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝x，切线方程为y－＝x(x－x0)， 因为点P(2,4)在切线上， 所以4－＝x(2－x0)，解得x0＝2或x0＝－1， 故所求的切线的方程为：4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. 探究提高 (1)求函数f(x)图象上点P(x0，f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k＝f′(x0)，故当f′(x0)存在时，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；点P处的切线，点P是切点． (2)要准确理解曲线切线的概念，如直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，一方面，直线与曲线只有一个公共点直线是曲线的切线；另一方面