2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件2.3.ppt

2.3　函数的奇偶性与周期性      知识梳理  1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　　　    ,那么函数f(x)是偶函数 关于　    对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　　　    ,那么函数f(x)是奇函数 关于　　    对称 答案：f(-x)=f(x)　y轴　f(-x)=-f(x)　原点 2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=　　    ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中　　　　　    的正数,那么这个　    正数就叫做f(x)的最小正周期. 答案：(1)f(x)    (2)存在一个最小　最小  基础自测  1.函数f(x)= -x的图象关于(　    ). A.y轴对称　    B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称　    D.直线y=x对称 答案：C    2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上(　    ). A.先减后增　    B.先增后减 C.单调递减　    D.单调递增 3.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=(    ). A.-1　    B.1　    C.-2　    D.2 答案：D     答案：A     4.偶函数f(x)是以4为周期的函数,f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则f(x)在[0,2]上的单调性是　　　　    . 答案：单调递增  思维拓展  1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什么条件? 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是偶函数且在x=0处有定义,是否有f(x)=0?奇函数呢? 提示:不一定,如f(x)=x2+1是偶函数,而f(0)=1;若奇函数f(x)在x=0处有定义,则一定有f(0)=0. n≠0时,nT是f(x)的一个周期. 4.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,即f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个. 3.若T为y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗? 提示:不一定.由周期函数的定义知,函数的周期是非零常数,当n∈Z且 　　一、函数奇偶性的判定 【例1】 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= + ;   解:(1)由  得x=- 或x= . ∴函数f(x)的定义域为{- , }. ∵对任意的x∈{- , },-x∈{- , },且f(-x)=-f(x)=f(x)=0, ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数. (2)f(x)=(x+1) ; 解：(2)要使f(x)有意义,则 ≥0, 解得-1x≤1,显然f(x)的定义域不关于原点对称, ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)f(x)= . 解：∵  ∴-2≤x≤2且x≠0. ∴函数f(x)的定义域关于原点对称, f(x)= = . 又f(-x)= =- , ∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.  方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路: 1.定义法:   2.图象法:   3.性质法:(1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶; (3)“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇. 提醒:(1)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的化简解析式,判断f(x)与f(-x) 的关系,得出结论,也可以利用图象作判断. (2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的. (3)性质法在小题中可直接运用,但在解答题中应给出性质推导的过程. 请做[针对训练]1 　　二、抽象函数的奇偶性 【例2】 函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明. 解:(1)令x1=x2=1, 有f(1×1)=f(1)+f(1), 解得f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 定义域D={x|x≠0}关于原点对称. 令x1=x2=-1, 有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x)