2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件2.7.ppt

2.7　幂函数  知识梳理  1.幂函数的定义 形如　　    (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是　　    ,α为　    . 2.五种幂函数的图象 答案：y=xα　自变量　常数   3.五种幂函数的性质 　　　函数 特征性质　　     y=x y=x2 y=x3 y=  y=x-1 定义域 　     　     　     　　　     　　　     值域 　     　     　     　　　     　　　     奇偶性 　     　     　     　　　     　　　     单调性 　     　     　     　     　　　     　　　     　　　     定点 　　　　     答案：R    R    R    [0,+∞)    {x|x∈R且x≠0}    R    [0,+∞)    R     [0,+∞)    {y|y∈R且y≠0}　奇　偶　奇　非奇非偶　奇　增    x∈[0,+∞)时,增    x∈(-∞,0)时,减　增　增    x∈(0,+∞)时,减    x∈(-∞,0)时,减     (1,1)  基础自测  1.下列函数中是幂函数的是(　    ). ①y= ;②y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);③y= +x2;④y=xn;⑤y=(x-1)3; ⑥y=2x2;⑦y=x2+1. A.①②③④　    B.①④ C.②④⑤⑥　    D.②④⑦ 答案：B     2.幂函数f(x)=xα(α是有理数)的图象过点 ,则f(x)的一个单调递减 区间是(　    ). A.[0,+∞)　    B.(0,+∞) C.(-∞,0]　    D.(-∞,0) 答案：B     3.当0x1时,f(x)=x2,g(x)= ,h(x)=x-2,则f(x),g(x),h(x)的大小关系是　     　　    . 4.已知点 在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的定义域为　　　         ,奇偶性为　　　　    ,单调减区间为　　　　    . 答案：h(x)g(x)f(x) 答案：(-∞,0)∪(0,+∞)　奇函数    (-∞,0)和(0,+∞) 提示:幂函数y=xα,当x0时,根据幂运算,幂函数y=xα0恒成立,所以幂函数在第四象限没有图象;幂函数的图象最多只能出现在两个象限内. 2.函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指 数的大小有什么关系? 提示:在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下.  思维拓展  1.为何幂函数在第四象限没有图象?幂函数的图象最多出现在几个象限内? 3.结合表格内容,当α0时,探究幂函数y=xα有什么性质? 提示:(1)图象都通过(0,0),(1,1); (2)在(0,+∞)上是增函数; (3)在第一象限内,α1时,图象是向下凸的;0α1时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限延伸.   　　一、幂函数定义的应用 【例1】 已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x):(1)是幂函数;(2)在(1)的条件下是(0,+∞)上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数. 解:(1)∵f(x)是幂函数, 故m2-m-1=1, 即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1. (2)当m=-1时,f(x)=x2,在(0,+∞)上是增函数; 当m=2时,f(x)=x-13,在(0,+∞)上不是增函数,故不符合题意. (3)若f(x)是正比例函数, 则-5m-3=1,解得m=- , 此时m2-m-1≠0,故m=- . (4)若f(x)是反比例函数, 则-5m-3=-1, 即m=- ,此时m2-m-1≠0, 故m=- .  方法提炼1.判断一个函数是否为幂函数,只需判断该 函数的解析式是否满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)幂系数为1. 2.若一个函数为幂函数,则该函数解析式也必具有以上的三个特征. 请做[针对训练]3 　　二、幂函数性质的简单应用 【例2】 已知幂函数y= (m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+ ∞)上函数值随x的增大而减小,求满足(a+1 (3-2a 的a的取值范 围.   解:∵函数f(x)在(0,+∞)上递减, ∴m2-2m-30,解得-1m3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又函数的图象关于y轴对称, ∴m2-2m-3是偶数, 而22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数,∴m=1. 而y= 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数, ∴(a+1 (3-2a 等价于a+13-2a0,或0a+13-2a或a+103-2a. 解得a-1或