2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件3.3.ppt

3.3　导数在函数最值及生活实际中的应用  知识梳理  1.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上 　    有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)　　    有最大值与最小值. (2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求f(x)在(a,b)内的　    值; ②将f(x)的各　    值与　　　    比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 答案：(1)必　不一定    (2)①极　②极 f(a),f(b) 2.解决优化问题的基本思路 答案：用函数表示的数学问题  基础自测  1.函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最大值是(　    ). A.0　    B. 　    C. 　    D.  答案：B    2.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为(　    ). A.0≤a1　    B.0a1 C.-1a1　    D.0a  答案：B     3.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值是　　　　    ,最小值是　　　　    . 4.当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的底面半径为　　    　    时,才能使饮料罐的体积最大. 答案：5    -15      答案：   思维拓展  1.如何求实际问题中的最值问题? 提示:有关函数最大值、最小值的实际问题,一般指的是单峰函数,也就是说在实际问题中,如果遇到函数在区间内只有一个极值点,那么 不与区间端点比较,就可以知道这个极值点就是最大(小)值点. 2.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别? 提示:极值是指某一点附近函数值的比较,因此,同一函数在某一点的极大(小)值,可以比另一点的极小(大)值小(大);最大、最小值是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较.因而在一般情况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.   【例1-1】 已知f(x)=xln x. (1)求函数y=f(x)的图象在x=e处的切线方程; (2)设实数a0,求函数F(x)= 在[a,2a]上的最小值. 一、函数的最值与导数 ∵f(e)=e,且f(e)=2, ∴函数y=f(x)在x=e处的切线方程为y=2(x-e)+e,即y=2x-e. (2)F(x)= (ln x+1), 令F(x)=0得x= . 当x∈ 时,F(x)0,F(x)单调递减; 当x∈ 时,F(x)0,F(x)单调递增.  解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=ln x+1, (ⅰ)当a≥ 时,F(x)在[a,2a]上单调递增,F(x)min=F(a)=ln a; (ⅱ)当a 2a,即 a 时,F(x)在 上单调递减,在 上单调 递增,F(x)min=F =- ; (ⅲ)当2a≤ ,即0a≤ 时, F(x)在[a,2a]上单调递减. ∴F(x)min=F(2a)=2ln 2a. 【例1-2】 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. 因此g(x)=f(x)+f(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b. 因为函数g(x)是奇函数, 所以g(-x)=-g(x), 即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)·(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b], 从而3a+1=0,b=0, 解得a=- ,b=0. 因此f(x)=- x3+x2. 解:(1)由题意得f(x)=3ax2+2x+b. (2)由(1)知g(x)=- x3+2x, 所以g(x)=-x2+2. 令g(0)=0,解得x1=- ,x2= , 则当x- 或x 时,g(x)0, 从而g(x)在区间(-∞,- ],[ ,+∞)上是减函数; 当- x 时,g(x)0,从而g(x)在[- , ]上是增函数. 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1, ,2 时取得,而g(1)= ,g( )= ,g(2)= . 因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g( )= ,最小值为g(2)= .  方法提炼求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)