2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件3.4.ppt

3.4　微积分基本定理  知识梳理  1.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0x1…xi-1xi…xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式　　　　　　    ,当n→∞时,上述和式无限接近　　        ,这个　　    叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作　　　    ,即 f(x)dx=　　　　　    . (2)在 f(x)dx中,　　    分别叫做积分下限与积分上限,区间　　    叫 做积分区间,　　　    叫做被积函数,　    叫做积分变量,　　    叫做被积式. (1) f(ξi)Δx=  f(ξi)　某个常数　常数     f(x)dx       f(ξi) (2)a与b    [a,b]　函数f(x)　x　f(x)dx 答案： (1)当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分 f(x)dx的几何意义是由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分). 2.定积分的几何意义 (2)一般情况下,定积分 f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及 直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (1) kf(x)dx=　　　    (k为常数); (2) [f(x)±g(x)]dx=　　　　　    ; (3) f(x)dx=　　　　    (其中acb). 3.定积分的性质 答案：(1)k f(x)dx    (2) f(x)dx±  g(x)dx    (3) f(x)dx+ f(x)dx 4.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且F(x)=f(x).那么 f(x)dx =　　　    . 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼茨公式. 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数. 为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作　　　    ,即 f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a). 答案：F(b)-F(a)　F(x)   基础自测  1.  dx=(　    ). A.-2ln 2　    B.2ln 2　    C.-ln 2　    D.ln 2 答案：D     2.下列值等于1的积分是(　    ). A. xdx　    B. (x+1)dx C. 1dx　    D.  dx 答案：C     3.函数F(x)= t(t-4)dt在[-1,5]上(　    ). A.有最大值0,无最小值 B.有最大值0,最小值-  C.有最小值- ,无最大值 D.既无最大值也无最小值 答案：B     4.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是(　    ).   A.1　    B. 　    C. 　    D.2 答案：B     5.根据定积分的几何意义计算定积分: |x-2|dx=　　　　    . 6.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N,变力F做的功W为　　　　    J. 答案：1    答案：10  思维拓展  1.若积分变量为t,则 f(x)dx与 f(t)dt是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分 [f(x)-g(x)]dx(f(x)g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.   一、利用微积分基本定理计算定积分 【例1】 计算下列定积分: (1) (3x2-2x+1)dx; (2)  dx.  解:(1) (3x2-2x+1)dx=(x3-x2+x) =24. (2)  dx= xdx+  dx+  dx= x2 +ln x -   = (e2-1)+(ln e-ln 1)-  = e2- + .  方法提炼计算一些简单的定积分,解题的步骤是: (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差; (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分; (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数; (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值; (5)计算原始定积分