2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件4.61.ppt

4.6　正、余弦定理及其应用举例 定理 正弦定理 余弦定理 内容 　　　　    =2R. (R为△ABC外接圆半径) a2=　　　　    ; b2=　　　　    ; c2=　　　　      知识梳理  1.正弦定理和余弦定理   ①a=　    ,b=　　    ,c=　    ; ②sin A=　    ,sin B=　　    ,sin C=　　    ; ③a∶b∶c=　　　        ; ④ =   cos A=　　　　    ; cos B=　　　　    ; cos C=　　　　     解决 的问题 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两个角. ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 答案： = =    b2+c2-2bc·cos A c2+a2-2ca·cos B a2+b2-2ab·cosC　①2Rsin A　2Rsin B　2Rsin C　②           　③sin A∶sin B∶sin C                2.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线　　　　    的角叫仰角,在水平线　　    的角叫俯角(如图①). 答案：上方　下方 3.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 相对于某一方向的水平角(如图③).   图③ (1)北偏东α°:指北方向向东旋转α°到 达目标方向. (2)东北方向:指北偏东45°或东偏北45°. 4.方向角 (3)其他方向角类似. 5.坡角和坡比 坡角:坡面与水平面的夹角(如图④,角θ为坡角).   图④ 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡比).  基础自测  1.在△ABC中,a=3,A=30°,B=60°,则b等于(　    ). A.3 　    B. 　     C. 　    D.2  答案：A 2.在△ABC中,cos2 = (a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形 状为(　    ). A.等边三角形 B.直角三角形 答案：B C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 3.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是(　    ). A.5海里/时　    B.5  海里/时　     C.10海里/时　    D.10  海里/时 答案：C 4.如图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,无法求出AB长度的是(　    ). A.α,a,b　     B.α,β,a C.a,b,γ　     D.α,β,γ 答案：D 5.△ABC中,若a=3 ,cos C= ,S△ABC=4 ,则b=　　　　    . 答案：2   思维拓展  1.在△ABC中,sin Asin B是AB的什么条件? 提示:充要条件. sin Asin B⇔  ⇔ab⇔AB. 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状?(以角A为例) 提示:∵cos A与b2+c2-a2同号. ∴当b2+c2-a20时,角A为锐角,若可判定其他两角也为锐角,则三角形为锐角三角形; 当b2+c2-a2=0时,角A为直角,三角形为直角三角形; 当b2+c2-a20时,角A为钝角,三角形为钝角三角形. 3.仰角、俯角、方位角有什么区别? 提示:三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的. 4.如何用方位角、方向角确定一点的位置? 提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置. 　　一、利用正、余弦定理解三角形 【例1-1】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 = . (1)求角C的大小; (2)如果a+b=6, · =4,求c的值. 解:(1)因为 = , = , 所以sin C= cos C. 所以tan C= . 因为C∈(0,π), 所以C= . (2)因为 · =| || |cos C= ab, 又因为 · =4, 所以ab=8. 因为a+b=6,根据余弦定理, 得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=12. 所以c的值为2 . 【例1-2】 △ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tan C= , sin(B-A)=cos C. (1)求A,C; (2)若S△ABC=3+ ,求a,c. 解:(1)因为tan C= , 即 = , 所以sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos Csin B,