离散数学第1章集合及其运算.ppt

离 散 数 学第1篇 集 合 论 第1章 集合及其运算 1.1 集合的概念与表示 一、集合的概念 一些确定的、可以区别于其它个体的对象的总 和称为集合。 集合中的个体对象称为集合的元素，常用a、b等 小写字母表示。 集合通常用A、B等大写字母表示。一些特定的 字母表示特定的集合，如 N、Z、Q、R、C。 元素与集合的关系称为属于关系。 元素a是集合A中的元素，记作 ，元素a不是集 合A中的元素，记作 。 在集合的概念中需要强调指出三点： 1。集合中相同的元素，不论出现多少次，都被 看作为一个元素。 2。集合中的元素是没有排列顺序的。例如集合 A中的元素是a、b、c，集合B中的元素是c、a、b， 那么，它们表示的是同一个集合。 3。集合中的元素可以是数、点、事物，还可以 是集合。 根据集合中元素的个数，集合可分为有限集合 和无限集合。 有限集合A中所包含的元素的个数以|A|表示。 二、集合的表示方法 1．列举法 列出集合中的所有元素，用大括号括起来。 例如，A={a,b,c,d},N={0,1,2,3,…}。 2。描述法 在大括号中，先说明元素怎样表示，再描述元素 具有的共同属性， 例如，N={x|x是非负整数},D={(x,y)| } 3。图示法——文氏图 用一个简单的平面区域(通常用圆)表示一个集合， 不同的集合用不同的平面区域表示。区域内的点表示 集合中的元素。 三、集合之间的关系 若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，称 集合A是集合B的子集，记作 。 如 ，则 。 说明： 1。包含关系只适用于集合与集合之间。 2。若 ，则A=B。 3。若 ，且B中包含不属于A的元素，则称A是B的真子集，记作 。 4。集合的包含关系具有： ⑴自反性， 。 ⑵反对称性， 。 ⑶传递性， 。 四、特殊集合 1。空集：不包含任何元素的集合，记作φ 。 空集是任何集合的子集。 φ 与{φ}是不同的。 2。全集：研究对象的全体组成的集合，用E表示。 任何集合都是全集的子集。 3。幂集：一个集合的所有子集组成的集合，记作P(A) 如A={a,b}，P(A)={φ,{a},{b},{a,b}} 说明：⑴幂集中所有的元素都是集合。 ⑵φ与P(φ)是不同的，φ中没有元素，P(φ)中有一个元素φ ，P(φ)={φ}。 ⑶若A中有n个元素，则P(A)中有2n个元素。 例1 设A={1,2,3}，则P(A)= 。 解： P(A)= {φ,{1},{2}, {3},{1,2),{1,3},{2,3},A} 例2 设A={φ ,{a}}，则P(A)= 。 解： P(A)= {φ,{φ},{{a}}, {φ,{a}}} 例3 设A={a ,{a}}，下列命题中不正确的是 。 (1) (2) (3) (4) 解:∵ P(A)= {φ,{a},{{a}}, {a,{a}}} ,∴不正确的是(2) 1.2 集合的运算及其性质 一、集合的运算 集合的运算有并、交、差、补和对称差。 1。集合的并 由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为集 合A与B的并集，记作 。 例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}， 2。集合的交 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为 集合A与B的交集，记作 。 例如A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，