离散数学课件-第1章-8(下).pptVIP

第一章 逻辑与证明 一、逻辑门电路 1.引入 布尔代数被用来作为电子装置的电路模型。 这种电子装置的输入和输出都可以认为是集合{0，1}中的元素。构成计算机或其他电子装置的电路时根据前两节我们所学习的布尔代数的各种规则来设计的。 电路的基本原件是所谓的门，每种类型的门实现一种布尔运算。本节定义了几种类型的门。 在本章所讨论的电路中，输出都只与输入有关，而与电路的当前状态无关，换句话说，这些电路都没有存储能力，这样的电路叫做组合电路或选通网络 我们将使用三种元件来构造组合电路。 三种元件分别是：相反器、或门、与门。下面对这三中元件分别进行介绍。 1）反相器 它以布尔值作为输入，并产生此布尔值的补作为输出，用符号表示如下： 在图中进入元件的输入画在左边，离开原件的输出画在右边 2）或门 其输入时两个或两个以上的布尔值，输出时这些值的布尔和。 用符号表示如下： 在图中进入元件的输入画在左边，离开原件的输出画在右边 3）与门 其输入时两个或两个以上的布尔值，输出是这些值的布尔积。 用符号表示为： 在图中进入元件的输入画在左边，离开原件的输出画在右边 注： 与门和或门允许有多个输入，进入元件的输入都画在左边 ，离开原件的输出都画在右边，具有n个输入的与门和或门如 下图所示。 2. 门的组合 使用相反器、或门和与门的组合可以构造组合电路。 在构造电路的组合时，某些门可能有公共的输入。 有两种方法可以描述公共输入 一种方法是：对每个输入，将使用这个输入的门画在一个分支 上。 另一种方法是：对每个门，分别指出其输入。 下图说明了这两种方法，其中的门有同样的输入值。 【example 1】构造产生下列输出的电路： Solution： 产生这些输出的电路如图示。 3. 电路的例子 【example 2】某个组织的一切事物都由一个三人委员会决定 ，每个委员对提出的建议可以投赞成票或反对票。一个建议如果 得到了至少两张赞成票就获得通过。设计一个电路，来判断建议 是否获得通过。 Solution： 如果第一个委员投赞成票，则令x=1;如果这个委员投反对 票，则令x=0。如果第二个委员投赞成票，则令y=1;若其投反 对票，则令y=0。同样道理，第三个委员投赞成票 则令z=1,反 之，z=0。 必须设计一个电路使得对于输入x、y、z，如果其中至少有 两个为1，则此电路产生输入1。具有这样的输出值的一个布 尔函数表示是xy+yz+xz。实现这个函数的电路如下图所示。 【example 3】有时候灯具需要由多个开关来控制，因此有 必要设计这样的电路：当灯市关闭时，敲击任何一个开关都 可以打开此灯；反之，当灯市打开时，敲击任何一个开关都 可以关闭此灯。在有两个开关或三个开关两种情形下，设计 电路来完成这个任务。 Solution： 首先设计使用两个开关的电路来控制灯具。 当第一个开关关闭时，令x=1；当它打开时，令x=0。当第二 个开关关闭时，令y=1,当它打开时，令y=0.当灯市打开时，令 F(x,y)=1;当灯是关闭时，令F(x,y)=0。 我们可以随意地假定：当两个开关都是关闭时，灯是打开的 ，即F(x,y)=1.这个假定决定了F的所有其他值：当两个开关中 有一个是打开的时候，灯变灭了，故F(1,0)=F(0,1)=0；当第二 个开关也被打开的时候，灯又变亮了，故F(0,0)=1. 下表列出了这些值，我们可以看到 实现这个函数的电路如下所示。 现在设计有三个开关的电路。 设x、y和z是三个布尔变元，它们分别指出这三个开关是否是关闭 的。当第一个开关处于关闭时，令x=1;当它处于接通时，令x=0.当第 二个开关处于关闭时，令y=1;当它处于接通时，令y=0.当第三个开关 处于关闭时，令z=1;当它处于接通时，令z=0。 灯亮时，令F(x,y,z)=1；灯不亮时，令F(x,y,z)=0.当所有开关都关 闭时，我们可以随意指定灯是亮的，即F(1,1,1)=1,这确定了F的其他值 。当一个开关被接通时，灯就变灭，故F(1,1,0)=F(1,0,1)=F(0,1,1)=0. 当又一个开关被接通时，灯又变亮了，F(1,0,0)=F(0,1,0)=F(0,0,1)=1. 最后当三个开关都接通时，灯又变灭了，故F(0,0,0)=0. 这个函数的值如下表所示。 函数F可以表示成积之和展开式： 实现这个函数的电路如下所示 4.加法器 一下我们将说明如何用逻辑电路从两个正整数的二进制编码来执行加