6-1 线性空间的定义与性质.ppt

　　线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 　　线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 一、线性空间的定义 　　2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 　　3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 说明 　　1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算． 　　（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 线性空间的判定方法 　　通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． 一般地 　　（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 证明 所以对定义的加法与乘数运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律： 1．零元素是唯一的． 证明 二、线性空间的性质 2．负元素是唯一的． 证明 则有 证明 证明 三、线性空间的子空间 解 (1)不构成子空间. 因为对 有 对任意 有 于是 满足 且 　　线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线性空间 对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算 四、小结 思考题 思考题解答