周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章9质点力学.ppt

引力场（补充） 牛顿的万有引力用现代科学语言来描述，质点和连续体周围存在一个引力场，位于场中的任何其他质点将受到引力作用，m’质点周围引力场强定义为 引力场强满足矢量叠加原理. 再考虑引力场是保守力场, 称为引力势. 例: 分析潮汐生成. 解: 潮汐是地球和月亮的影响,首先考虑月亮的影响, 月亮m在地面r处的引力场强和引力势是 m a r ? 利用泰勒展开 得到 第一项是主导项, 加速整个地球, 在非惯性系被惯性力抵消, 而后两项是潮汐的主要因素. 与地球的引力场比较 太阳的影响更小 太阳 地球 月亮 太阳 地球 月亮 新月时的大潮 满月时的小潮 小 结 比耐公式 开普勒定律 质点散射问题 第一章 质 点 力 学 导读 有心力的性质 比耐公式 开普勒定律 宇宙速度 圆形轨道的稳定性 粒子散射 §1.9 有心力 1. 有心力的性质 定义: 如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一个定点, 这个质点所受的力是有心力. 而这个定点则叫做力心. 凡力趋向定点的是引力，离开定点的是斥力． 在有心力的作用下，质点始终在一平面内运动. 因力F与位矢 r 共线 r ? F＝0, L＝恒矢量． i) 质点的动力学方程(极坐标)为: (1) (2) 在直角坐标系中, 如以力心为原点, 质点的运动平面为xy平面，则质点的运动微分方程为 r mv F O h (3)就是角动量守恒定律在极坐标中的表示. (2)式又可写为 (3) ii) 极坐标系中, 力做功表达式 有心力是保守力, 必定有势能V(r)存在 iii) 极坐标系中, 机械能守恒表达式: 有心力时 从动力学方程中消去时间变量，得 2. 轨道方程——比耐公式: 3. 平方反比引力 万有引力、电磁力(有引力、斥力), 以引力为例： 则方程变为 代入轨道方程，得 令 式中A和?0是两个积分常数，令?0 ＝0，轨道简化为 这个微分方程和简谐振子方程一样，所以它的解 而 与标准圆锥方程 相比较，知轨道是原点 在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上. 三种圆锥曲线: (1) 椭圆 在B点, r= a-c = a(1-e), ? = 0. 即p=a(1-e2), e1. (2) 抛物线 在B点, r = q, ? = 0. 即p=2q, e=1. (3) 双曲线 在B点,r=c-a=a(e-1), ?=0. 即p=a(e2-1), e1. F B x y ? F F’ B B’ C y ? x F B x y ? F’ 在上述轨道方程中有一个不定参量A,如果我们用能量守恒来推导轨道,可以得到 E0, 则 e1, 轨道为椭圆 E=0, 则 e=1, 轨道为抛物线 E0, 则 e1, 轨道为双曲线 4 开普勒定律: 行星绕太阳做椭圆运动, 太阳位于一个焦点 行星和太阳之间的连线, 在相等时间扫过相等的面积 行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比 开普勒发表于1609，1619年. 牛顿万有引力发表于1687. 从三定律推导万有引力. 设A是矢径扫过的面积, 则由开普勒第二定律 o ? r x 从而 也是常数, 即动量矩守恒, 行星所受的力对 太阳的力矩为零, 因行星具有加速度, 所以受力不为零, 故行星所受力必定是有心力, 太阳是力心. 第一定律说轨道是椭圆, 利用比耐公式可得 这表明行星所受的力是引力, 且与距离平方成反比. 第三定律可以给出行星的公转周期并确定p的大小. 当矢径扫过一周, A =?ab, 而所需时间就是周期 ? 考虑 得到 虽然 p, h 都和行星有关, 但是上式与行星无关. 5 宇宙速度与宇宙航行 人造卫星运动轨道 讨论 1. 当 第二宇宙速度 沿抛物线轨道飞出，脱离地球 第一宇宙速度 近似圆形轨道 2. 当 3. 当 仿照地球： 双曲线 脱离太阳 地球相对太阳的速度： 行星脱离太阳的速度： 还需克服地球引力： 第三宇宙速度： 6 圆形轨道的稳定性 假设质点在有心引力作用下沿任何半径的圆形轨道运动， 此结果表明：在有心引力中，对任何质点来讲，只要抛射速度垂直于位置矢径，并使它满足 那么质点就可以沿着任何半径的圆形轨道运动。 稳定与不稳定：当质点受到微小扰动而偏离原来的轨道后，如果还始终保持在原来轨道的近邻，那么就称原来轨道上的运动是稳定的。反之，如果偏离原轨道的程度不断扩大，则原轨道上的运动就称为是不稳定的。 在外界的微扰影响下使圆形轨道保持稳定的条件是什么？ 设想有u=u0，h=h0的圆形轨道。对此圆形轨道 .当外界对它有一个微小扰动时，使得u要从u0变为u0+ξ, ξ由于微扰而引起的微小量，它的导数也可视为很小的微量，而且h-h0也是个很小的微量。将u=u0+ξ代入比耐公式则可得到： 在