周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章4-8质点力学.ppt

z ? d 对转轴力矩的定义： 在垂直于转轴的平面内，外力 与作用力线到转轴的距离d 的乘积定义为对转轴的力矩. 对于定轴转动，规定： 力矩逆时针方向 为正. 力矩顺时针方向 为负. （2） 对定轴的力矩 求作用力 对空间某轴的力矩,考虑分量,力对原点的力矩为 Fx y z(L) Fy Fz O 上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量, 也就是力分别对三坐标轴的力矩. 所以求力对轴的力矩, 可以先求对轴上一点的力矩, 再投影到轴的方向. （3） 力偶 如果两个平行力F2=－F1=F, 但不作用在同一直线上，此时二者合力为零，但是对空间任何一点的力矩不为零. F1 F2 O1 O2 A B P为力偶面内的任何一点,则二力对P的总力矩值为 力偶矩是力偶唯一的力学效果, 是矢量. 但这个矢量可以用垂直力偶面的任一直线表示, 方向用右手螺旋法则确定. 由于力偶矩可作用于力偶面上任何一点,这种矢量是自由矢量. 像力等不能改变作用线的矢量叫滑移矢量. 力偶的任一力和两力作用线间垂直距离的乘积,等于两力对垂直于力偶面的任意轴线的力矩的代数和. O1O2称为力偶臂.力与力偶臂乘积为力偶矩. -F F M （4） 质点的动量矩 定义: 动量对空间某点或某轴的矩, 叫做动量矩, 也叫角动量 o ? 质点对O点的动量矩： kg ·m2·s-1 质点对轴的动量矩： 按动量矩的定义： 两边对时间求导： 其中： 所以： 又 质点所受的合外力矩就等于角动量对时间的变化率. 动量矩定理： 3 质点的动量矩定理 质点的动量矩守恒定律: 若质点不受力的作用,或者虽然受力但是合外力矩为零，则质点的动量矩守恒。 合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量。 例2、一质点所受的力,如通过某一个定点, 则质点必在一平面上运动,试证明之. 解: 力所通过的那个定点叫做力心．如取这个定点为坐标系的原点, 则质点的位矢 r 与F 共线，二者的矢量乘积为零, 故L 为一恒矢量．所以: (1) (2) (3) 用x乘(1)，y乘(2)，z乘(3)，并相加得 由解析几何,知上式代表一个平面方程，故质点只能在这个平面上运动． (1) 动能定理 单位：J 动能 4 动能定理和机械能守恒定律 牛顿方程 经过数学运算得到 质点动能定理微分形式 质点动能定理: (2) 机械能守恒定律 如果一个系统只有保守内力内作功，非保守内力和一切外力都不做功，那么系统的总机械能保持不变. 这个系统也常称为保守系. 力是保守力 第一积分或初积分 如果方程 对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程，就称上式为 牛顿运动方程的第一积分或初积分. 数学上：二阶微分方程降为一阶 物理上：力学量 G 是一个守恒量 物理意义明显的初积分： 动量守恒、动量矩守恒、能量守恒 由初积分出发问题的求解简化了一步 优先使用守恒律 (3) 保守系与时间反演对称性 时间反演: 相当于电视片的倒放效果 理论:每个质点都满足牛顿运动定律 做时间反演, 动量也反向, 右端不变. 因保守力只与质点的相对位置有关, 它是时间反演不变的. 所以可逆过程能够发生. 摩擦力不是保守力. 例题 重锤，轻杠，固定 o 点，在竖直平面内圆周运动 ，自由落下，用两种方法，求最低点的速度. 解1：受力分析：mg T 机械能守恒： mg T P 0 v 积分 变量变换 解2：运动微分方程 自然坐标系 切向向上为+ 5 一维势能曲线 物体一维运动的势能曲线 x0 A’ A’’ A B’ B’’ C B E1 E2 V(x) x 对一维运动,只要力是坐标的单值函数,一定是保守力. （i）保守力 指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率 （ii）总能量E水平线在各点相距下边势能曲线的高度，代表质点在该处的动能. 由于经典动能为正, 所以水平线低于势能曲线的区间, 是具有该能量的质点不能达到的地段(势垒）. （iii）势能曲线在局部的最低(极小)点, 都是稳定平衡点. 总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范围内活动. 势能曲线在局部的最高(极大)点, 都是不稳定平衡点. 总能量略高于它们的质点, 都会远离而去. （iv）在势能曲线任何极小点附近, 质点可能围绕着它做小振动. 可以如下计算振动周期 （v）以A点(x0)为例, 计算小振动的振动周期 显然势能在这里一阶导数为零, 二阶导数大于零. 在 ?x=x-x0不大的范围内, 把势能函数展开成泰勒级数: 例题3 力是坐标的函数 原子在晶体点阵中的运动 可解得