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第四讲 数值计算 符号数学工具箱 一、方程求解 1.求解单个代数方程 带有等号的符号方程也可以求解。 线性方程组求解 微分 符号表达式的微分以四种形式利用函数diff： diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 diff(f,t) 传回f对独立变数t的一次微分值 diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 diff(f,t,n) 传回f对独立变数t的n次微分值 f=a*x^3+x^2-b*x-c % 定义一个符号表达式 f= a*x^3+x^2-b*x-c diff(f) %对缺省的变量x求导 ans= 3*a*x^2+2*x-b diff(f ,a) % 关于a求导 ans= x^3 diff(f,2) %关于x求二阶导数 ans= 6*a*x+2 diff(f,a,2) %关于a求二阶导数 ans= 0 积分 int函数用以演算一函数的积分项。 如果积分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是 MATLAB无法找到，则 int 传回原输入的符号式。 我们示范几个例子： S1 = 6*x^3-4*x^2+b*x-5; S2 =sin(a); S3 =sqrt(x); int(S1) ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x int(S2) ans= -cos(a) int(S3) ans= 2/3*x^(3/2) int(S3,a,b) ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) int(S3,0.5,0.6) ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) 单个微分方程 常微分方程有时很难求解，MATLAB提供了功能强大的工具， 可以帮助求解微分方程。函数dsovle计算常微分方程的符号解。因 为我们要求解微分方程，就需要用一种方法将微分包含在表达式 中。所以，dsovle句法与大多数其它函数有一些不同，用字母D来 表示求微分，D2，D3等等表示重复求微分，并以此来设定方程。 任何D后所跟的字母为因变量。 例如：1. y=g(x,y)， 须 以Dy代表一阶微分项y　 2. D2y代表二阶微分项　 y 方程y =0用符号表达式D2y=0来表示。 例如，一阶方程dy/dx=1+y2的通解为： dsolve(Dy=1+y^2) % 求通解 ans= -tan(-x+C1) 其中，C1是积分常数。 让我们举一个二阶微分方程的例子，该方程有两个初始条件： y =cos(2x)-y y(0)=0 y(0)=1 y=dsolve( D2y=cos(2*x)-y ， Dy(0)=0 ， y(0)=1 ) y= -2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x) 微分方程：y -2y -3y=0 * * MATLAB具有求解符号表达式的工具 ：solve solve(a*x^2+b*x+c) % 求方程的根 ans= [1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^1/2)] [1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^1/2)] 结果是符号向量，其元素是方程的2个解。如果想对非缺省x变量求解，solve 必须指定变量。 solve(a*x^2+b*x+c, b) % 求解关于变量b的根 ans= ans= -(a*x^2+c)/x f=solve(cos(x)=sin(x)) % solve for x f= 1/4*pi 写成AX=b的形式，则 线性方程求解 a= [ 7 2 1 -2 9 15 3 -2 -2 -2 11 5 1 3 2 13] b=[4 7 -1 0] x=a\b x = 0.4979 0.1445 0.0629 -0.0813 相关的函数语法有下列 4个： int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 int(f,t) 传回f对独立变数t的积分值 int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 int(f,t,a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 int(f,m,n) 传回f对预设变数的积分值，积分区