第一章线性空间.pptVIP

单位化 于是得　 的标准正交基 设 与　　　 是 维欧氏空间V中的 两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是 即 4. 标准正交基间的基变换 或 由于　　　　　是标准正交基，所以 （6） 由公式（3），有 （7） 把A按列分块为　　　　　　　 由（7）有 （8） 则称A为正交矩阵. 2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交 矩阵. 三、正交矩阵 1．定义 设 若Ａ满足 2．简单性质 1）A为正交矩阵 3）设 　　 是标准正交基，A为正交矩阵，若 则　　 　也是标准正交基. 4） 　　 为正交矩阵 A的列向量组是欧氏空间 的标准正交基. 6） 　　 为正交矩阵 A的行向量组是欧氏空间 的标准正交基. 5） 　　 为正交矩阵 九、欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) 　与 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 则称子空间 与 为正交的，记作 　则称向量　与子空间 　正交，记作 恒有 2) 对给定向量 　 如果对 　　恒有 注： ① 　　当且仅当 　中每个向量都与 　正交． ② ③ 当 　　且 　　时，必有 证明：设子空间 　　　两两正交， 2．两两正交的子空间的和必是直和． 要证明 中零向量分解式唯一． 只须证： 设 　　　 　　 由内积的正定性，可知 十、子空间的正交补 1．定义： 如果欧氏空间V的子空间 　 满足　　　　并且 则称 　为 　的正交补. 2． 维欧氏空间V的每个子空间 　都有唯一正交补. 证明：当 时，V就是 的唯一正交补． 当 　 时， 　也是有限维欧氏空间. 取 的一组正交基 由定理1，它可扩充成V的一组正交基 记子空间 显然, 又对 即 为 的正交补. 再证唯一性. 设 是 的正交补，则 由此可得 对 由上式知 即有 又 从而有 即有 同理可证 唯一性得证. ② 维欧氏空间V的子空间W满足: ① 子空间W的正交补记为　　　即 i) ii) iii) 注： ⅳ) W的正交补 必是W的余子空间. 但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补. 称　 为　在子空间W上的内（投）射影. 3．内（投）射影 设W是欧氏空间V的子空间，由 对 有唯一的　　　　　　　　使 一、同构 映射的定义 二、同构的有关结论 §6.8 线性空间的同构 一、同构映射的定义 设　　 都是数域P上的线性空间，如果映射 具有以下性质： 则称　　　　　的一个同构映射，并称线性空间 同构，记作 ii) iii) i) 　 为双射 为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应 例1、V为数域P上的n维线性空间， 这里　　　　　 为　在　 　　　　基下的坐标， 就是一个V到Pn的同构映射，所以 1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构. 二、同构的有关结论 同构映射，则有 1） 2、设　　 是数域P上的线性空间， 　　　　的 2） 设V为欧氏空间， 为V中任意两非零 向量， 的夹角定义为 4. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义1： ① 零向量与任意向量正交. 注： ② 　　即　 . 设 为欧氏空间中两个向量，若内积 则称 与 正交或互相垂直，记作 定义2： 5. 勾股定理 　设V为欧氏空间， 证： 若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广： 则 证：若 则 即 例3、已知 在通常的内积定义下，求 解： 又 通常称　　　为　与　的距离，记作 设V为欧氏空间， 为V的一组基，对V中 任意两个向量 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 令 （8） 定义：矩阵 称为基 的度量矩阵. （9） 则 （10） ① 度量矩阵A是实对称矩阵. ② 由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵. 注： 事实上，对 ，即 有 为正定矩阵