Hilbert空间中算子和的Drazin逆的表示.pdfVIP

维普资讯 第9卷第3期 西安文理学院学报：自然科学版 Vo1．9 No．3 2006年 7月 JournalofXi’anUniversityofArts Science(NatSciEd) Ju1．2006 文章编号：1008．5564(2006)03．0012．05 Hilbert空间中算子和的Drazin逆的表示 陈艳妮 ，2 (1．陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安 710062；2．陕西理工学院数学系，陕西 汉中723001) 摘 要 ：基于对可逆算子的系统研究，引入了Drazin可逆算子的相关性质．利用算子分块的方法 ，讨 论了幂零算子与Drazin可逆的算子以及两个 Drazin可逆的算子的和是否 Drazin可逆的相关问题，并分 别给出了其 Drazin逆的具体刻画． 关键词：Drazin可逆 ；幂等算子 中图分类号：0177．1 文献标识码：A 1 引言 设H是一个无穷维的复可分的Hilbert空间，B(H)表示无穷维的Hibert空间上的有界线性算子组 成的全体．对任一算子A ∈B(H)，R(A)，N(A)，A 分别表示算子A的值域，核空间以及A的自伴， M上表示空间M 的正交补．在文中，总是假设H的子空间是闭的．Hilbert空间上的单位算子记为 ．特 别地，在不产生混淆的情况下，简记为 f． 2 定义及基本性质 定义 1 设 T∈B(H)．如果对于某个非负的整数 是≥0，存在一个 y∈B(H)使得 rYTY = Y TY = yT I 【Tk1Y = Tk 则 T就称为是Drazin可逆的，y称作是T的Drazin逆，记作 TD． ’ 定理2 设 T ∈B(H)．如果 T存在Drazin逆，则 To是惟一的． 定义3 设 T∈B(H)．如果存在最小的非负整数 满足N( )=N( +1)，则 就称为是T的 升标，记作 a(T)．如果这样的整数不存在，则我们记a(T)=OO． 定义4 设 T∈B(H)．如果存在最小的非负整数 满足R( )=R( +1)，则 就称为是T的 降标，记作 (T)．如果这样的整数不存在，则我们记 (T)=OO． 定理5 设 T ∈B(H)．则下列命题等价． (1)TD存在； (2)存在一个非负整数是，使得a(T)= (T)=是≤ OO； (3)0是预解式 (f—T) 的有限阶极点，阶数为 是； 收稿 日期：2006一o3—31 基金项目：国家自然科学基金资助项 目． 作者简介：陈艳妮(1981一 )，女，陕西渭南人，陕西理工学院数学系教师，陕西师范大学数学与信息科学学院硕士 研究生 ． 维普资讯 第3期 陈艳妮：Hilbert空间中算子和的Drazin逆的表示 13 此时 ，i(-／’)= 口(-／’)= (T)=是，冥中 i(T)表不 A 的Drazin逆的指标 ． 3 主要结论 首先介绍几个引理． 引理 1 设 P和Q是B(H)的拟幂零算子．如果尸Q=0，则 P+Q也是拟幂零的． 证明 注意到Q关于空间分解H = ④ N(Q )具有如下的算子矩形式 ，、 fQ11Q121 0 J 其中，Q11EB(R(Q)，R(Q))是拟幂零算子，Q12是从N(Q )到 上的有界线性算子．根据假设 条件尸Q=0不难看出在相应的空间分解下，P具有如下的算子矩阵形式