第七章第二节.ppt

(2)由(1)知,EF∥D1C且EF= D1C, 故四边形ECD1F是梯形,两腰CE,D1F相交,设其交点为P,则P∈CE. 又CE?平面ABCD, 所以P∈平面ABCD. 同理,P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, 所以P∈AD,所以CE,D1F,DA三线共点. 考向 2 空间中两直线的位置关系 【典例2】(1)(2013·南昌模拟)在空间中有不共线的三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　) (A)AB∥CD (B)AB与CD异面 (C)AB与CD相交 (D)AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 (2)如图所示,正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问: ①AM和CN是否是异面直线?说明理由. ②D1B和CC1是否是异面直线?说明理由. 【思路点拨】(1)可分线段AB,BC,CD共面和不共面两种情况讨论. (2)①由于MN∥AC,因此M,N,A,C四点共面,故AM与CN不异面. ②由图易判断D1B和CC1是异面直线,可用反证法证明. 【规范解答】(1)选D.若三条线段共面,则直线AB与CD相交或平行;若三条线段不共面,则直线AB与CD是异面直线,故选D. (2)①不是异面直线. 理由:连接MN,A1C1,AC. ∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A C1C, ∴A1ACC1为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A,M,N,C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线. ②是异面直线. 理由:∵ABCD -A1B1C1D1是正方体, ∴B,C,C1,D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α,使D1B?平面α,CC1?平面α, ∴D1,B,C,C1∈α, 这与B,C,C1,D1不共面矛盾. ∴假设不成立, 即D1B和CC1是异面直线. 【拓展提升】判定空间直线位置关系的三种类型及方法 (1)异面直线:可采用直接法或反证法. (2)平行直线:可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理. (3)垂直关系:往往利用线面垂直的性质来解决. 【提醒】在空间两直线的三种位置关系中,验证异面直线及其所成角是考查的热点. 【变式训练】设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是　　　　(填序号). ①若AC与BD共面,则AD与BC共面; ②若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线; ③若AB=AC,DB=DC,则AD=BC; ④若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC. 【解析】对于①,由于点A,B,C,D共面,显然结论正确. 对于②,假设AD与BC共面,由①正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确. 对于③,如图,当AB=AC,DB=DC, 使二面角A -BC-D的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确. 对于④,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BC⊥AE,BC⊥DE. 根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE, 从而AD⊥BC. 答案:③ 考向 3 异面直线所成的角? 【典例3】正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求AC与A1D所成角的大小. (2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小. 【思路点拨】(1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再计算. (2)可将A1C1平移到AC,将EF平移到BD再求解. 【规范解答】(1)如图所示,连接AB1,B1C,由ABCD -A1B1C1D1是正方体,易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的锐角或直角就是AC与A1D所成的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60°,即AC与A1D所成的角为60°. (2)如图所示,连接AC,BD,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1, ∵E,F分别为AB,AD的中点, ∴EF∥BD, ∴EF⊥AC, ∴EF⊥A1C1, 即A1C1与EF所成的角为90°. 【拓展提升】 1.找异面直线所成的角的三种方法 (1)利用图中已有的平行线平移. (2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. (3)补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤 (1)作:通过作平行线,得到相交直线. (2)证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角. (3)算:通过解三角形,求出该角. 【变式训练】在三棱锥S-ACB中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC= SB= 则SC与AB所成角的余弦值为_______. 【解析】如图,取BC的中点E,分别在平面ABC内作DE∥AB,在平面S