第二章随机变量及分布.pptVIP

三. 正态分布(Normal Distribution) 第四节 随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 随机变量的方差 4.1数学期望一.数学期望的定义 例1 若X服从0-1分布,其概率函数为P{X= k}=Pk(1-p)1-k (k=0,1), 求EX. 例2 甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用ξ, η表示)的分布律如表1,表2所示. 这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手较甲射手的技术好. 例3 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品5种,相应的概率分别为0.7, 0.1, 0.1, 0.06及0.04,若其产值分别为6元, 5.4元, 5元,4 元及0元.求产品的平均产值. Eξ=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04 =5.48( 元) 例4 已知盒内有5个球,其中2个白球,3个黑球,从中一次摸出3个球,计算摸到的白球个数X的数学期望EX. 例5 已知甲袋内有3个白球与3个黑球,乙袋内有3个白球, 今从甲袋内任意摸出3个球放入乙袋.求(1)乙袋内黑球个数X的数学期望;(2)从乙袋内再任摸一球是黑球的概率. 例5 已知甲袋内有3个白球与3个黑球,乙袋内有3个白球, 今从甲袋内任意摸出3个球放入乙袋.求(1)乙袋内黑球个数X的数学期望;(2)从乙袋内再任摸一球是黑球的概率. 例7 设随机变量X的概率密度函数为 例8 设随机变量X的概率密度函数为 例9 设随机变量X的概率密度函数为 三、随机变量函数的数学期望 这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况,即对于n2也同样有 例2 有一队射手共9人,技术不相上下,每人射击中靶的概率均为0.8;进行射击,各自打中靶为止,但限制每人最多只打3次.问大约需为他们准多少发子弹? 解 设ξi表示i名射手所需的子弹数目, ξ表示9名射手所需的子弹数目,依题意, 二 方差 (Variance) 一、方差的定义 1. 0-1分布 1. 均匀分布 2. 指数分布 3. 正态分布 二、方差的性质 例2 设随机变量X的概率密度函数为 性质4 设X和Y是两个相互独立的随机变量，则 证 当X和Y相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)， 所以 推广： 若X1,X2,…,Xn相互独立,则 注意：以下两个式子是等价的, 的充分必要条件为,存在常数C,使 事实上, 若X1,X2,…,Xn相互独立,则 例如,当X和Y相互独立时,有 性质5 利用方差的性质重新求二项分布的方差. 设 X ~ B ( n, p )， X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 例 解 设 而 X= X1+X2+…+Xn , i=1,2,…,n 其分布律为 所以 且 X1,X2,…,Xn相互独立, 解： 设B=从乙袋内再任摸一球是黑球 例6 掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷得的点数，求ξ的数学期望。 定义 4.2 P(58) 设连续型随机变量x~φ(x), - ?x+?,若 为x的数学期望。 则称 连续型随机变量X的数学期望是它的概率密度f(x)与实数x的乘积在 (-∞,+∞)无穷区间上的广义积分. 解： 解： 解： (1)若X是离散型随机变量，且X的概率分布为 (2)若X是连续型随机变量，且其概率密度为 f(x)， 则 则 E(a)=a, a为常数; E(X+a)=E(X)+a, a为常数; 3. E(aX)=a E(X), a为常数; 数学期望的性质 证明:设X~φ(x),则 4. E(kX+b)=E?(kX)+b=k?E(X)+b 例 解 X -2 -1 0 0.1 P 1 0.2 0.3 0.4 设随机变量X的概率分布如下： 例 解 设随机变量X的服从[a,b]上的均匀分布 例 解 设随机变量X的服从[0,2п]上的均匀分布 并且ξi有如下分布律 再多准备10% ~15%,大约为他们准备13发子弹. 例4 某无线电元件的使用寿命ξ是一个随机变量, 其概率密度为 其中λ0,求这种元件的平均使用寿命. 解： 解 例 假定世界市场对我国某种出口商品的需求量X(单位吨)是个随机变量,它服从[2000,4000]上的均匀分布,设该商品每售出1吨可获利3万美元,但若销售不出去积压于库,则每吨需支付1万美元,问如何计划年出口量能使国家期望获利最多? EX1：设随机变量X的分布律为 解: 求随机变量Y=X2的数学期望 X Pk -1 0 1 Y Pk 1 0 设ξ的概率密度为， 求 E(ξ2), E(ξ3) ，E(ξ4)。 随机变量X的数学期望，描述了随机变量X取值的集中趋势或平均