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第五章2 数学问题与数学考试 学 习 提 要 数学问题的内涵 问题解决的教学 数学考试中的命题探讨 一、数学问题是什么 一般的数学问题 教学中的数学问题 数学问题的发展： 从传统的问题到问题解决的提出 一般的数学问题 广义的数学问题是指在数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾。 例如几何问题，复数问题，四色问题等等。 狭义的数学问题则是已经明显地表示出来的题目，用命题的形式加以表述， 包括证明类问题，求解类问题等。 教学中的数学问题 在数学教学中，把结论已知的题目也称为问题。 这时候的数学题指：为实现教学目标而要求师生们进行解答的数学知识系统，包括一个待计算的答案，一个待证明的结论，一个待作出的图形，一个待判断的命题，一个待建立的概念，一个待解决的实际问题等。 它们的表现形式可以是课堂上的提问、范例、课堂练习、课外作业题和测验考试题等。 其内容包括：需要建立的概念、求证的定理、待推导的公式， 以及师生共同进行探讨的研究性课题。 数学问题的发展——从传统的问题到问题解决的提出 1、传统的数学题的特征：接受性、封闭性和确定性； 2、20世纪80年代以来，国际上倡导“问题解决”数学教学模式，这里的问题在障碍性和探究性上提出了较高的要求，波利亚的解释为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。解决问题是这种寻求的活动”，问题的产生过程如下图： 体现“问题解决”的数学问题类型 1、可以构建模型的非常规的实际问题 例1 某企业有5个股东，100名工人，年底公布经营业绩，如下表所示 : ? 1990年 1991年 1992年 股东红利 5万 7.5 10万 工资总额 10万 12.5万 15万 现在请大家分析根据此表的数据所画的三种图： 2、探究性问题 通过数学活动获得成功的体验建立自信以完善人格 例1：学习完三角形内角和定理，让学生探索四边形、五边形等多边形的内角和并归纳 3、开放性问题 旨在培养学生思维的灵活性、发散性以利于学生创新精神的养成 例2：在三角形ABC中三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果  4、情景性问题 让学生经历重要的、有价值的数学思维活动的过程 例3 （挂历问题）挂历对于我们每个人都不陌生，你曾探究过其中的数学问题吗？ 数学问题解决的教学 什么是“数学问题解决”？ 问题解决是指综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。 数学问题解决的教育意义 学数学应该是“做数学”，即让学生通过问题解决来学习数学。 以“问题解决”作为数学教育的中心，则是应当努力帮助学生学会“数学地思维”。 问题解决教学的策略 1.创设问题情景，选择好问题； 2.形成知识组块，优化认知结构； 3.加强数学思维解题策略训练，注意及时反馈； 4.引导学生开展探索活动。 “以习题演练为基础，以问题解决为主导” 创新性数学问题欣赏 例1.（荷兰） A离学校10千米，B离A有3千米，试问B离学校几千米？ 例2.加工资问题（美国） 某人在一公司工作，目前年薪为1万元。老板说，这里有两种方案供你选择。第一种：每一年加1000元；第二种：每半年加300元。试问，如果你在该公司工作5年，究竟用哪种方案得到的收入多？ 例3.门后的车（美国） 有三扇门，只有一扇门内有一辆车，若猜中即开走。现我猜1号门，然后主持人将2、3号门中无车的打开，例如3号门内无车。现在请问：你是否要换选2号门？ 三、数学考试中的命题探讨 确定试卷结构 单题命题的方法 试卷组拼的技术 参考答案和评分标准的编制 * * （2） （1） （3） 图1