第五章第三节SOR迭代法.pptVIP

* * 迭代法 第三节 一、 迭代格式 二 迭代法的收敛性 一、 迭代格式 是 ( 逐次超松弛 ) 的缩写。 迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的有效 方法之一。它可以看作是 迭 代 法 的加 迭代法是 迭代的一种特殊形式。 速， 将方程组 写成 其 迭 代 格 式 可写为 ： 则有 若记 则 式可写为 由此可以看出， 迭代法的第 一个修正量 。现在，为了获得更快的收敛 步 ，相当于在第 步的基础上每一个分量增加 效果，在修正项的前面乘以一个参数 ，便得到 逐次超松弛迭代格式 称 为松弛因子，称 的 迭 代 过 程 为低松弛方法，对于一些方程组，用 迭代法得不到收敛解或不收敛，但用低松弛方法却是收敛的 。称 的迭代过程 为超 松 弛 方法, 此法 可以加速 迭 代 方 法 的收敛。 的迭代过程 就是 迭代公式。 由迭代格式（3.3） 有 格式（3.4）的矩阵形式为 SOR迭代法常以这种形式进行计算。 即有 其中 显然， 二 迭代法的收敛性 由 式有 即 于是有 记 则有 其中，称 为 迭代矩阵。 由定理1及定理2直接得知： （2） 迭代法收敛的充分条件是 。 （1） 迭代法收敛的充要条件是 。 子 有关 。 关于 的范围，有如下定理。 迭代法收敛与否或收敛快慢都与松弛因 因子 应满足条件 。 定理6 迭代法收敛的必要条件是松弛 证明 因 法收敛，故 。记 的 特征值 为 。因为n阶矩阵的n个 特征值之积等于其行列式之值，即 而 从而 另一方面 由关系式： 有 上述定理说明，对于任何系数矩阵 ，若要 阵来说，这一条件是充分的。 阵 来说， 法都是收敛的。但是，对一些特殊矩 弛因子满足条件 时，并不是对所有系数矩 法收敛，必须选取松弛因子 ， 然而，当松 因此有 ，或者 ，即 。 定理证完。 即 这一定理说明， 对于对称正定矩阵 ，只要 ， 迭代法总是收敛的。 用 法计算方程组时，选取合适的松弛因 子很重要，松弛因子选取得好，可能使得收敛速 度大大加快，下面举例来说明松弛因子的选取对 收敛速度的影响。 定理7 如果矩阵 是对称正定的，则 法对于 是收敛的。 * * *