第十二章第一节线性变换、二阶矩阵及其乘法.ppt

解： 伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合． 在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积．这里M＝? 因为矩阵M表示反射变换，矩阵N表示旋转变换，所以变换后所得图形与原图形全等. 解：在矩阵N＝ 的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形，在矩阵M＝ 的作用下，一个图形变换为与之关于直线y＝x对称的图形．因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1. 2．直角坐标系xOy中，点(2，－2)在矩阵M＝ 对应 变换作用下得到点(－2,4)，曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M 对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程． ? ? 解：根据题意 ，即2a＝4，解得a＝2，设曲线C变换前后对应点的坐标分别为(x，y)，(x′，y′)，则 代入曲线C的方程x2＋y2＝1， 整理得 y′2＋x′2＝1， 即曲线C′的方程为x2＋ y2＝1. 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆． 已知曲线C：xy＝1. (1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程； (2)求曲线C′的焦点坐标和渐近线方程． 首先要确定能够实施变换的矩阵，求出变换后的曲线C′的方程，再研究曲线C′的几何性. 解：(1)由题设条件， 变换： 即有 解得 代入曲线C的方程为y′2－x′2＝2， 所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线C′的方程是y2－x2＝2. (2)由(1)知，只需求曲线y2－x2＝2的焦点及渐近线，由于a2＝b2＝2，故c＝2，又焦点在y轴上，从而其焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为y＝±x. 3．已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A(1,2)变成了 点A′(4,5)，点B(3，－1)变成了点B′(5,1)． (1)求矩阵M； (2)若在矩阵M的变换作用下，点C(x,0)变成了点C′(4， y)，求x，y. ? 解：(1)设该二阶矩阵为 由题意得 所以解得 故M＝ (2)因为 解得x＝2，y＝2. 矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算是高考新增内容，多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，从而研究新图形的性质，难度不大，属中档题，如2008江苏高考21题. (2008·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝ 对应的变换下得到曲线F，求F的方程． [解]　设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵 A对应的变换下变为点P′(x0′，y0′)，则有 即 又因为点P在椭圆上，故 从而(x0′)2＋(y0′)2＝1. 所以，曲线F的方程为x2＋y2＝1. 利用矩阵变换这一工具，建立变换前后任一点坐标间的关系，从而代入变换前的平面图形对应的方程，求出变换后的图形对应的方程，其实质是解析几何中相关动点(即代入法)求曲线方程的思想，本题若改为“将椭圆4x2＋y2＝1绕原点逆时针旋转30°后得到曲线F，试求F的方程．” 知识点 考纲下载 考情上线 线性变换、二阶矩阵及其乘法 1.了解二阶矩阵的概念． 2.二阶矩阵与平面向量的乘法、平面图形 的变换． (1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与 变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法． (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)， 即A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变 换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变 换． 3.变换的复合——二阶矩阵的乘法 (1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．　 (2)理解矩阵乘法不满足交换律． (3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律. (4)理解矩阵 乘