第四章微分中值定理和导数的应用.ppt

* 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 求导得 设小正方形的边长为x， 则方盒的容积为 解 例9 * 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？ h r 设底半径为r, 高为h， 总的表面积为 例10 解 即表面积最小. 即高与底面直径相等. 即为最小值点 . 导数左负右正，是极小值点， * 例11 解 利用最值证明不等式 * 例12 解 分析 数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化为连续函数,再求导. 利用对数求导法,得 导数左正右负， * 经济应用举例 1.平均成本(AC)最低问题 例13 设成本函数为 则平均成本为 得驻点 此时平均成本和边际成本均为4. 一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等. * 2.最大利润问题 例14 利润函数为 解 得驻点 * 一般,利润函数为 其中Q为产量, 时,利润最大,其中MR和MC分别表示边际收益和边际成本(Marginal revenue, Marginal cost), “生产商为获得最大利润,应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平”.这是微观经济学的一个重要结论. * 某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费和库存费之和最小？ 3.最优批量—库存问题 例15 解 设分x批生产,则生产准备费和库存费之和为 得唯一驻点 * P148 习题四 练习： * 第六节 渐近线和函数作图 一、曲线的渐近线 1.水平渐近线 例如 有两条水平渐近线: x y (平行于x轴的渐近线) * 例如 有两条竖直渐近线: 2.竖直渐近线 (垂直于x轴的渐近线) * 3.斜渐近线 斜渐近线求法: * 例1 解 * * 二、函数作图 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 * 例2 解 非奇非偶函数. 列表 不存在 拐点 极小值点 间断点 * C(-1, -2)， E(2, 1) ， D(1, 6)， 作出函数的图形. x O y F(3, -2/9) . B(-2, -3)， D 水平渐近线 A B C D E F 不存在 拐点 极小值点 间断点 描点: A(-3, -26/9)， y = -2 竖直渐近线 x = 0 * 例3 解 偶函数, 图形关于y轴对称. * 拐点 极大值 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点: 拐点 * * 定义域： (-?, -2) -2 (-2, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, +?) x y 间断 极大值 -４ 极小值 0 解 渐近线： 0 0 例4 竖直渐近线 斜渐近线 * x O y -1 1 -1 函数图形： B(0, 0)， A(-2, -4)， 描点： (-?, -2) -2 (-2, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, +?) x y 间断 极大值 -４ 极小值 0 y? 0 0 y?? 渐近线： * P148 习题四 练习： * * * * * 曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向. * 定义 下凸—凹 上凸—凸 * * 观察与思考： 曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？ 拐点 下凸 上凸 当曲线是下凸的时， f ?(x)单调增加。 当曲线是上凸的时， f ?(x)单调减少。 曲线凸性的判定 曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点。 * 定理 证略。 * 例1 解 x y O * 例2 解 下凸 上凸 下凸 拐点 拐点 * 例3 解 拐点的求法： 1.找出二阶导数为零的点或不可导点； 2.若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；若同号则不是拐点. 注意：拐点要写出纵坐标。 * 例4 解 * P148 习题四 练习： * 一、函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与最值 * 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大. * 定理1(极值的必要条件) 由费马引理可知， 所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。 但反之不然，驻点不一定是极值点. x y O * 此外, 不可导点也可能是极值点, x y O 函数的不可导点也不一定是极值点， x y O * 这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一. 我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点. 下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点. * 定理