第四章谓词逻辑及演算.ppt

第四章 谓词逻辑及演算 4.1 谓词与个体 4.2 量词 4.3 函词（函数） 4.4 自由变元与约束变元 习题及参考答案 §4.1 谓词与个体 我们知道，命题演算的基本研究单位是原子命题，在命题演算中，原子命题是不能再分割的了。这对研究命题间的关系是比较合适的。但是，在进一步研究时就会发现，仅仅命题演算对我们是很不够的并且也不充分，比如：三段论在命题演算系统中是无法完成的。 例如： 所有的科学是有用的。 数理逻辑是科学。 所以，数理逻辑是有用的。 又例如：凡人必死。 张三是人 故张三必死。 上述两个例子的主要原因就是在于这种推理中需要对原子命题作进一步分解，在上述两个例子中，每个例子三个命题间，具有必然的内在逻辑关系，只有对这种内存逻辑联系深入研究后，才能解决形式逻辑中的一些推理问题。谓词演算正是为了这样的目的，换言之也就是对原子命题进行进一步的分解。 在谓词演算中，将原子命题分解为谓词与个体两部分，在上例中，“数理逻辑是科学”即主语“数理逻辑”与谓语“是科学”，“张三是人”中的“张三”是主语，“是人” 为谓语。换言之在数理逻辑中将主语称为个体，将谓语称为谓词。 所谓个体既是可以独立存在的物体。它可以是抽象的，也可以是具体的，如：鲜花代表团，自行车，自然数，唯物主义等等都是个体。谓词是用来刻划个体的性质或关系。如“3整除6”这里3与6是个体，关系“整除”是谓词。 一个谓词可以与某个个体相联，此种谓词称为一元谓词。上例中张三，3，6等也可以是抽象的，比如x，y。由个体组成的集合称为个体域（或论述域），以某个个体域I为变域的变元叫做个体变元。 一个单独的谓词是没有含义的，如：“…是大学生“，这个谓词必须跟随一定数量的个体后才有明确的含义，最重要的是能分别其真假。个体谓词中的次序有时也是很重要的，如“上海位于南京与杭州之间”，此命题为真，其中“上海”、“南京”、“杭州”三个个体间次序不能随便颠倒，如果写成“杭州位于南京和上海之间”，则此时命为假。所以，由谓词以及跟随它的若干个有一定次序的个体便可构成一个完整的命题。 下面我们一般用大写拉丁字母A，B…E表示谓词，用小写拉丁字母a，b，c…z表示个体（或叫个体变元），这样x，y间具有关系B可记作B（x，y），x，y，z具有关系C，记作C（x，y，z），上述是二元谓词和三元谓词，当然也可以表示为n元谓词就是有n个个体变元的谓词，并约定0元谓词是命题。并记为P，Q，R。 n元谓词当然需要赋于n个个体变元才有意义，我们把谓词后填以个体称为谓词填式。 有了谓词的概念后我们可以将一些日常用语及命题更深刻地刻划出来，下面我们以几个例子说明： 例1：王强是大学生李华也是大学生。 解：F表示大学生， F（x）表示x是大学生。 a表示“王强”，b表示“李华”，则此式可表示为： F（a）∧F （b） 例3：这座大楼建成了。 解：F（x）表示“x建成了”，G（x）表示“x是大的”， H（x）表示“x是大楼”， 则此式可表示为： F（a）∧G （a）∧H（a） 一般地讲，对日常的语句，我们可给出一个大体的准则，根据这些准则可写出其逻辑表达式来。 名词：专用名词（如王强，美国等）为个体 用名词（如楼房，人等）一般可为谓词 代名词：人称代词（如：你，我，他），指示代词（如这个，那个）为个体。 不定代词（如任何，每个，有些，一些等）为量词。 形容词：一般为谓词 数词： 一般为量词 动词： 一般为谓词 副词： 与所修饰的动词合并为一谓词，不在分解。 前置词：与其它有关字合并为一，本身不独立表示。 连接词：一般为命题联结词。 以上准则只供参考，在具体应用时常常也有许多例外。 § 4.2量词 在数学上或日常生活中经常碰到“对一切”、“所有的”、“存在一个”、“至少有一个“等的概念。我们以上学过的方法与技巧是无法表达清楚的，一个谓词演算中的表达不一定是确定的，个体域中不同而个体代入后可得到不同的真假值。如我们考察下面两个式子（它们均以整数作为其个体