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四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012 Santa II, p.165 等值线 f(x, y)=k 的法向量 花舞人间 17MAR2012 等值线 f(x, y)=k 的法向量 推导如下结论： 函数 f(x,y)在(x,y)处的梯度垂直于函数经过该点的等值线。 所以函数的梯度就是函数等直线的法向量。 设方程 f(x, y)=k 确定了隐函数 y=y(x)。 将此函数代回原方程，得恒等式： 等式两端对 x 求导： 得： 等值线 f(x, y)=k 在一点(x, y)处的法线斜率为： 故等值线 f(x, y)=k 在一点(x, y)处的法线向量为： 或 这正好是函数 f(x, y)在(x, y)处的梯度。 所以，函数 f(x,y)在(x,y)处的梯度垂直于函数经过该点的等值线。 法向量 等值线 f(x, y)=k 的法向量 四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012 Santa II, p.165
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