D11.2对坐标曲线积分.ppt

计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用格林公式 , 有 例14. 练习题： 解: 线移动到 向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比. 沿直 求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指 一质点在力场F 作用下由点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设曲线C为曲面 与曲面 从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ; (2) 计算曲线积分 解: (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 原式 = 令 利用“偶倍奇零” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 运行时, 点击按钮“定理”, 可看定理内容. * 运行时, 点击按钮“定理”, 可看定理内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 作用, 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设质点 处受力 的大小与M点对 原点的距离成正比，方向指向原点，求质点由 沿椭圆 逆时针移动到 求力做的功W 由题意知 则 其中 例4. 求 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 设在力场 作用下, 质点由 沿?移动到 解: (1) 试求力场对质点所作的功. 其中?为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) ? 的参数方程为 例 6 设一质点受如下变力作用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 XOY 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移动过程中变力所作的功W. （一） 第二型曲线积分向量形式定义 抽象来看: 就是一个定义在定向曲线上的向量函数 的有关问题. 常力沿直线所作的功 三 两类曲线积分之间的联系 设一质点受如下变力作用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 XOY 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移动过程中变力所作的功W. （一） 第二型曲线积分向量形式定义 三 两类曲线积分之间的联系 数学观点来看: 研究对象是一个定义在定向曲线上的向量函数。 在 XOY 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移动 过程中变力所作的功W. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若设有向曲线在 单位切向量为 弧微分为 则 故 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二型曲线积分向量形式定义 变力 移动到点 B所作的功W。 从点 A 沿光滑曲线弧 L 研究对象是一个定义在定向曲线上的向量函数。 定义 设v定义在光滑定向曲线L上的向量函数， 是 称为 沿定向曲线 的第二型曲线积分。 则 与L定向一致的单位切向量， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 设v定义在光滑定向曲线L上的向量函数， 是 称为 沿定向曲线 的第二型曲线积分。 则 与L定向一致的单位切向量， 首先分向量函数的定义域（定向曲线L）为n个定向 然后在定向弧段任取一点用该点的向量值与该定向 弧段， 弧段的切向量段作数量积， 求和， 最后取极限。 注 是向量函数 对坐标的曲线积分； 也是数量函数 对弧长的曲线积分。 当L是封闭曲线时称 为v沿回路L的环量。 （二） 两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设定向曲线 单位切向量 向量函数 的对坐标的曲线积分 亦是数量函数 对弧长的曲线积分。 即 等式可以认为是两类曲线积分的联系。 同理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设定向曲线 单位切向量 向量函数 的对坐标的曲线积分 亦是数量函数 对弧长的曲线积分。 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 将第二型转化为第一型曲线积分关键是求定向 (1) 曲线的单位切向量。 (2) 设定向曲线 单位切向量 曲线弧微分为 定向弧对三个坐标轴的投影为 则 故 例7 解 其中L 沿上半圆周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法一： 又 所以切向量为 ，所以 将积分 化为对弧长的积分, 从 到 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法二 曲线参数化为 由 得 切