线性代数之第4章.向量空间与线性变换.ppt

第4章 向量空间与线性变换 第4章 向量空间与线性变换 Rn的基与向量关于基的坐标 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 Rn的基与向量关于基的坐标 我们知道 1) Rn中的n个单位向量εi=(0,…,0,1,0,…,0)(i=1, … , n)是线性无关的； 2) 一个n 阶实矩阵A=(aij)n×n，如果|A|≠0，则A的n个行向量和n个列向量也都是线性无关的； 3)Rn中任何n+1个向量都是线性相关的，且Rn中任一向量α都可用Rn中n个线性无关的向量来表示，且表示法唯一。 Rn中向量之间的这种关系就是本节将要讨论的“基”与“坐标”的概念。 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 Rn的基与向量关于基的坐标 定义：设有序向量组B＝{β1, β2, … , βn}属于Rn， 如果B线性无关，且Rn中任一向量α均可由B线性表示，即 α＝a1β1＋a2β2＋…+anβn 就称B是Rn的一组基（或基底），有序数组(a1, a2,…,an)是向量α关于基B（或说在基B下）的坐标， 记作： αB＝ (a1, a2, … , an ) 或αB＝ (a1, a2, … , an ) T 并称之为α的坐标向量。 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 Rn的基与向量关于基的坐标 显然Rn的基不是唯一的，而α关于给定的基的坐标是唯一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自然基或标准基。 在三维几何向量空间R3中，i, j, k是一组标准基，R3中任一个向量α可以唯一地表示为： α＝a1i +a2j +a3k 有序数组(a1, a2, a3 )称为α在基i, j, k下的坐标。如果α的起点在原点，(a1, a2, a3 )就是α的终点P的直角坐标（以后我们常利用R3中向量α与空间点 P 的一一对应关系，对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 Rn的基与向量关于基的坐标 为了讨论问题方便，我们对于向量及其坐标常采用列向量的形式(a1, a2, …, an) T表示，α=a1β1+a2β2+…+anβn可表示为： 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 求向量关于基的坐标举例 例1：设Rn的两组基为自然基B1和B2={β1, β2,…,βn}, 其中： 求向量α=(a1, a2 , … , an )T分别在两组基下的坐标。 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 求向量关于基的坐标举例 解：α关于自然基B1={ε1, ε2, … ,εn}显然有 α= a1ε1+a2ε2+… +anεn， 所以： 设α关于B2有： 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 求向量关于基的坐标举例 将以列向量形式表示的α,β1,β2,…,βn代入上式，得： 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 求向量关于基的坐标举例 解上式非齐次线性方程组，即得： 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 基之间的变换 由例1可见，Rn中同一个向量关于不同基的坐标一般是不同的。因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题。 为了得到Rn中同一向量关于两组基所对应的坐标之间的关系，先证明下面的定理。 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 基之间的变换 定理：设B={α1,α2,… ,αn}是Rn的一组基，且： 则η1,η2,…,ηn线性无关的充要条件是： 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 基之间的变换 证：由定理中方程式得： η1,η2,…,ηn线性无关的充要条件是方程： 只有零解xj＝0 (j=1, 2, … , n) 。 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 基之间的变换 由于α1, α2, …, αn线性无关，由上式得： 因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等于零，即定理中条件式成立。 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 基之间的变换 设B1＝{α1,α2,… ,αn, }和B2={η1,η2,… ,ηn}是Rn的两组基（分别称为旧基和新基），它们的关系如下所示： 将其表示成矩阵形式 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 基之间的变换 记上式右面的矩阵为A（注意：A是α1,α2,…,αn的系数矩阵的转置），为叙述简便，上式可写作： (η1,η2,… ,ηn)=(α1,α2,… ,αn) A 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 基之间的变换 定义：设Rn的两组基B1={α1,α2,… ,αn}和B2={η1,η2,… ,ηn}满足下式式的关系， 则矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵（或称A是基B1变为基B2的变换矩阵）。 4.1 Rn的基与向量关于基的坐标 基之间的变换 根据前面定理，过渡矩阵A是