线性方程组的求解过程分析.ppt

自强学院 尹剑翀指导老师 顾传青 让我们引入一个线性方程组的求解过程来开始我们的论述： 那么，为什么我们可以通过初等行变换来分析线性方程组，又为什么能够通过“特解＋基础解系”的向量方式得到方程组的通解呢？ 线性方程组的解法，就是通过不断的消元，最终化为克莱姆法则可以解决的方程组，并加以求解的过程。 我们在解方程时使用的消元法，实际上就是对方程组进行变换，而所做的变换可以总结为以下的三种变换。 I).用一非零的数乘某一方程； II).把一个方程的倍数加到另一个方程； III).互换两个方程的位置。 I)、II)、III) 三个变换称为线性方程组的初等变换。 很容易看出，进行了初等变换之后原方程组与现方程组是同解的。 应用到矩阵中行列之间的加减，便称为矩阵的初等变换。 矩阵的行向量描述： 矩阵的列向量描述： 我们在把线性方程组化为系数矩阵和增广矩阵的时候，初等行变换就相当于方程组中各个方程组互相进行加减消元的过程，这个过程我们可以通过把矩阵视为行向量的集合。 而当我们将矩阵视为列向量的集合的时候，则是对方程组的矢量化描述。 线性相关性 设向量组〔 α，β 1、 β 2 、… β n 〕，如果对向量α，β 1、… β n有 成立， 则α被称为是α，β 1、… β n的线性组合。 特别的，当k1,k2…ks不全为零，则称α，β 1、… β n线性相关。 例如，向量组 、 、 线性相关，因为 。 当k1,k2…ks全为零时，我们定义α，β 1、… β n线性无关。 事实上，一个向量组内的向量是线性相关抑或是线性无关取决于向量组中是否有向量能被其他的向量线性表示。当向量组线性相关时，必定有至少一个向量是“多余”的（即可以由其他的向量以的形式表现出来）。 方程组，如 ，它可以用矩阵描述为 ， 进而我们可以分解为三个行向量：设向量组{α，β，γ }，其中 、 ` 和 。可以发现α，β，γ线性相关，因为 。 从线性方程组的角度出发，我们可以发现，通过加减消元法，把方程 左右同乘以-2加到方程 遂得到 ，与第三个方程形式完全相同，可知第三个方程“多余”, 因此我们可以使得方程组变形为 ， 用矩阵描述为 。 由此我们可以知道，通过矩阵的初等行变换，我们可以达到化简方程组，减少计算量的目的。 所谓的“线性无关”，在线性方程组中的解释就是删除冗余的方程后剩下的那些方程间的状态。化简了线性方程组之后，方程与方程之间的约束关系变得更为明晰。 极大无关组和秩 一个向量组的一个部分组被称为极大线性无关无关组，如果这个部分组本身线性无关并且从这个向量组中任意添加一个向量（如果还有的话）所得的部分组都线性相关。极大线性无关组的一个基本性质是，任一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 一向量组的极大无关组总是含有相同个数的向量。 如向量组｛ α，β，γ ｝ 其极大无关组即可以是〔α，β〕，又可以是〔 α，γ 〕，也可以是〔 β，γ 〕。 用线性方程组来解释的话，有 ， 它显然与方程组 、 、 同解 （通过消元法验证）。 向量组的极大无关组含有向量的个数称为向量组的秩。 像向量组 〔 、 、 〕: 秩为2，与之对应的线性方程组 经等效之后含有的 线性无关的方程个数也为2个（但是具体是那两个是无法确定的）。 推广到矩阵，所谓矩阵的行秩就是指矩阵行向量组的秩，矩阵的列