经济数学-一阶微分方程.ppt

一、可分离变量的微分方程与分离变量法 二、齐次方程 例10 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 贝努利方程 , 2 dx dy y dx dz = 则 解 分离变量法得 所求通解为 , dx dy x y dx dz + = 则 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 （一阶线性微分方程） , 1 - = dx du dx dy 则 . y x dy dx + = 方程变形为 五、小结 1.可分离变量的微分方程: 分离变量法 （1）分离变量; （2）两端积分-------隐式通解. 可分离变量的微分方程解法： 3.线性非齐次方程 2.齐次方程 齐次方程的解法 线性非齐次方程的解法 思考题 1.求解微分方程 2.方程 是否为齐次方程? 思考题解答 为所求解. 2.方程两边同时对 求导: 原方程是齐次方程. 经 济 数 学 下页 返回 上页 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 第二节 一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 四、小结与思考题 设有一阶微分方程 则称方程 为 可分离变量的微分方程, 其中 都是连续函数. 根据这种方程的特点, 我们可通 过积分来求解. 设 用 除方程的两端, 用 乘以方程的两端, 以使得未知函数 与自变量置 得, 两边积分, 得 如果 则易知 也是方程 的解. 求解可分离变量的方程的方法 称为 分离变量法. 上述 例1 求微分方程 解 分离变量 两端积分 从而 记 则得到题设方程的通解 例 3 解 分离变量得 得 求微分方程 的通解. 的各项, 先合并 及 设 两端积分 得 于是 则得到题设方程的通解 记 注： 在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过 程中, 用它除方程 两边, 这样得到的通解, 不包含使 的特解. 但是, 其失去的解仍包含在通解中. 如在本例中, 我们得 有时如果我们扩大任意常数 的取值范围, 则 到的通解中应该 但这样方程就失去特解 而如果允许 则 仍包含在通解 中. 的前提下, 我们在假定 例4 某公司 年净资产有 (百万元), 并且资 产本身以每年5%的速度连续增产, 同时该公司每 年要以30百万元的数额连续支付职工工资. (1) 给出描述净资产 的微分方程; (2) 求解方程, 这时假设初始净资产为 (3) 讨论在 三种情况下, 变化特点. 解 (1) 利用平衡法, 即由 净资产增长速度 资产本身增长速度 职工工资支付速度 得到所求微分方程 解 (1) 得到所求微分方程 (2) 分离变量, 得 两边积分, 得 ( 为正常数), 于是 将 代入, 得方程通解: 上式推导过程中 当 时, 或 通常称为平衡解, 仍包含在通解表达式中. (3) 由通解表达式可知, 当 百万元时, 产额单调递减, 公司将在36年破产; 净资 万元时, 公司将收支平衡, 当 百 将资产保持在600百万元 不变; 当 百万元时, 不断增大. 公司净资产将按指数 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式,得 可分离变量的方程 1.定义 ) ( x y f dx dy = 形如 . ) ( x u u f dx du - = 即 , ln ) ( 1 x C u u f du = - ò 得 例 5 解 原方程变形为 求解微分方程 令 则 故原方程变为 即 分离变量得 , dx du x u dx dy + = 齐次方程 分离变量得 两边积分得 或 便得所给方程的通解为 回代 例 6 求下列微分方程的通解: 解 原方程变形为 令 则 代入原方程并整理 两边积分得 即 变量回代得所求通解 课堂练习 求解微分方程 解 , dx du x u dx dy + = 则 微分方程的解为 一阶线性微分方程的标准形式: 上面方程称为齐次的. 上面方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 三、一阶线性微分方程 齐次方程的通解为 1. 一阶线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 由分离变量法 2. 一阶线性非齐次方程 讨论 两边积分 即非齐次方程通解形式 对照 ), ( ) ( x v dx y x Q 为 设 ò ò = - dx x P Ce y ) ( 齐次方程的通解 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 解 例7 第一步，求相应的齐次方程的通解 . 2 的通解 求方程 x x y dx dy = - 解 例7 第二步，常数变易法求非齐次方程的通解 . 2 的通解 求方程 x x y dx dy = - 解 例7 例8 解 方程化为 其中 . 0 2 ) 6 ( 2 的通解 求方程 = + - y dx dy x y 所以 四、利用变量