use-第五章分析力学.ppt

ξ η ζ r y x 0 例2. 质点P受力F，求相对运动微分方 程（非保守系）（ P293） 解：1）选广义坐标 x,y,z 2)求T,Qα 求动力学方程—转动参照系 * * 3)代入L方程 3）求动力学方程—球坐标系 * 速度 动能 注意 * * §5.5 哈密顿正则方程 拉氏函数 拉氏方程 将方程降阶,令 由广义动量的定义，我们还可以求出广义速度！ * 拉氏函数 保守力系的拉格朗日方程的另一种表达式 * 令 ① 则 现在用新变量u代换x（即把u，y作为独立变量） 则 ② ③ * 一、勒让德变换 设 则 ③式中的第一式可写为 令: ③式中的第二式可写为 ③ * 即: 勒让德变换 总结： （正则形式） ②对于新自变量u，y有 （不是正则形式） ③可把函数形式变换： ④则新函数对新自变量有： ① 对原函数，原自变量有 * （正则形式） 二、正则方程 前面提过，用 代换L函数的 有一定的优越性，但只用 代换 而不改变函数的形式，则原函数对新变量无正则形式，给计算带来麻烦. 下面把L函数: 和 比较 引入新函数： * 则： （哈密顿函数） 比 说明：①哈密顿函数 是一个重要的函数， 更重要，H函数在统计物理和量子力学中 也要用到。 ②正则方程是2s个一阶微分方程， 则为正则变量，以 坐标的空间（2s维)叫相空间。 * 哈密顿 正则方程 含2S个变量的一阶常微分方程组 ③正则方程不按书中推导法，哈密顿函数和正则方程是勒让德变换的必然结果。 ④正则方程和拉格朗日方程是等价的，而且是可以相互导出的。 三、能量积分与循环积分 1、循环坐标：H函数中不显含的坐标 2、循环积分：对应于循环坐标，有循环积分 若 为循环坐标，则 为常量 若 为循环坐标，则 为常量 3、能量积分 * 如果H中不显含时间t，则因 ，故 ，因而正则方程有一积分： H = h ，此处h为一积分常数 。 将正则方程代入： 取微商： 哈密顿函数 能量积分 * 如果约束是稳定的，可将动能 T 表示为广义速度的二次齐次函数，即： 上式代入哈密顿函数H 中得： = - (T –V )+ 2T = T + V = E（总能量） * 如果体系所受的约束是不稳定约束，即动能T不是广义速度的二次齐次函数，则： H = T2 - T0 +V = h 此式代表广义能量积分。因此，哈密顿函数也是力学体系的特性函数。 这就是力学体系的能量积分，即在 H 中不显含时间t，且约束稳定时，得到能量积分，此时哈密顿函数 H 等于力学体系的总能量 E。 * §5.7 哈密顿原理 变分运算的几个法则 哈密顿原理 * §5.7 哈密顿原理 虚功原理是力学变分原理的微分形式 哈密顿原理是力学变分原理的积分形式 一些变分运算法则 * 变分概念 真实曲线C和C’之间的差异称为变分δ, 它不同于在同一曲线轨道上由于自变数微小变化引起的差异 d . * 若P及P’是C及C’上对应的两点, 即M和M’ 同时从P1出发, 当M到达P, 则M’到达P’. 变分和微分可以对易 * 等时变分 反之,为不等时变分,或全变分 * 哈密顿原理 若认为s个确定的qα代表着s维空间的一个点 描述力学体系运动状态的积分 哈密顿提出可以从具有相同端点的并为约束所许可的许多条可能的运动轨道中用变分法挑选出一条真实轨道,从而确定力学体系沿真实轨道运动时的运动规律. 用拉格朗日方程推导保守力系作用下的哈密顿原理 * 拉格朗日方程 * 作用函数 表示端点时间和位置的函数时,叫主函数 S 哈密顿原理 * * 哈密顿原理 用变分法中求稳定值的办法来挑选真实轨道,并由此来确定力学体系的运动规律. 哈密顿原理的文字表述：保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形转移到另一已知位形的一切可能的运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于零。 哈密顿原理和牛顿运动定律等价，广泛地被用来推导其他原理、定律、和方程。 * 例 P244 试用哈密顿原理导出正则方程 解： * 正则方程 * * * * * 列广义平衡方程 * * 预备知识 1）求和号“ ”的运算 a) 求和指标的改变，不影响计算结果。 b) 指标不同的求和号，前后秩序可交换。 c) 与求和指标无关的因子，可放到求和号里面，也可放到求和号外面。 d）与求和指标无关的微商（或微分）符号，可以放到求和号里面，也可以放到求和号外面。 由以上规则，有以下关系： * 2）求力学量的全微