【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积 理 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥ba·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　) (3)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形．(　×　) (4)两个向量的夹角的范围是[0，]．(　×　) (5)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　) (6)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　) 1．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于________． 答案　30° 解析　设向量a与向量a＋2b的夹角为θ. ∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos 60°＝12， ∴|a＋2b|＝2， a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cos θ ＝2×2cos θ＝4cos θ， 又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos 60°＝6， ∴4cos θ＝6，cos θ＝， ∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°. 2．已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________. 答案　a2 解析　如图所示， 由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°. BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2， ∴BD＝a. ∴·＝||||cos 30°＝a2×＝a2. 3．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________. 答案　3 解析　∵|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2) ＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×＋4＝9.∴|a|＝3. 4．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________． 答案　90° 解析　由＝(＋)可知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以与的夹角为90°. 5．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________． 答案　－2 解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为 |b|cos θ＝4×cos 120°＝－2. 题型一　平面向量数量积的运算 例1　(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________. (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________． 答案　(1)9　(2)1　1 解析　(1)＝＋， ＝－＝－＋， ∴·＝(4＋3)·(4－3) ＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9. (2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·