11.4矩阵的其它运算.ppt

* §１１．４　矩阵的其它运算 １．矩阵的线性运算 ２．转置矩阵与共轭转置矩阵 ３．Ｕ矩阵与Ｈ矩阵 ４．对角矩阵与准对角矩阵 一、矩阵的线性运算 定义 设Ａ和Ｂ是两个同型矩阵，则把两个矩阵的对应元素相加而得到的矩阵称为矩阵Ａ与Ｂ的和，记作Ａ＋Ｂ． 例如： 则 必须注意：只有两个同型的矩阵才能相加！ 矩阵加法的运算规律 交换律 结合律 称作矩阵Ａ的负矩阵． 由于矩阵乘法不满足交换律，故分配律有两个． 数乘矩阵的概念我们已经介绍过．即 对于数乘矩阵，下列运算律是成立的： 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为矩阵， 为数） 当然AB要有意义 二、矩阵的转置与共轭转置 Transpose, conjugate 定义 把一个矩阵的行变成列，而列变成行所得到的新的矩阵叫原矩阵的转置矩阵．矩阵Ａ的转置矩阵记作　　或 例如： 则 旋转变换 对于矩阵的转置运算，下列性质成立： 特别注意顺序！ 共轭转置矩阵的概念与性质 定义 Ａ是复矩阵，若把其所有元素都改成共轭复数，得到矩阵Ａ的共轭矩阵　　； 的转置矩阵 叫Ａ的共轭转置矩阵． 记作 即 例如 注意区分伴随矩阵！ 对矩阵的共轭转置运算有下列性质： 特别注意(3)和(4)！ 三、Ｕ矩阵与Ｈ矩阵 下面要介绍的是另外几种特殊的矩阵． １．Ｕ矩阵与正交矩阵 定义 若一个矩阵Ａ满足条件 称为酉矩阵． 特别地，如果Ａ是实矩阵，则称为正交矩阵． 由此可知：正交矩阵不过是实的Ｕ矩阵． Unitary, Hermite matrix 矩阵Ａ称为正交矩阵 其中最后的定义是数学中最常用的定义． 例如 满足 故Ｒ是正交矩阵． 在后一种情况下， 故正交矩阵的定义可改为： 对应于Ｕ矩阵和正交矩阵的线性变换是所谓的酉变换和正交变换． 酉矩阵的几个重要性质： （１） 因此以上三式都可以当作是酉矩阵的定义． 即　　每一行的元素的模的平方和等于１， 其中第二式说明酉矩阵 　　的行满足正交条件． 每一行的元素与另一行的对应元素的共轭复数的乘积之和为０ 而第三式说明酉矩阵的列是满足正交条件的． （２）酉矩阵的行列式的模是１． 只须对等价定义中的第二式或第三式取行列式即可知． （３）两个同阶Ｕ矩阵的乘积是Ｕ矩阵． （４）若Ｕ是Ｕ矩阵，则　 也是Ｕ矩阵． 把上面４条性质中的酉矩阵换成正交矩阵， 换为 那么４条性质也成立． 为什么? ２．Ｈ矩阵与对称矩阵 定义 如果方阵Ａ满足 则称为Ｈ矩阵． 厄米特Hermite矩阵 特别地，如Ａ是实矩阵，则是对称矩阵． 即对称矩阵是特殊的厄米特矩阵． 由定义可知：Ｈ矩阵中，关于主对角线对称的元素是互相共轭的复数，即　　　　而对角线上元素全是实数． 而对称矩阵的条件可改写为 其关于主对角线对称的元素必相等，即 对称阵在讨论二次型时起着关键的作用． 如： 可以重新排列为 其中 这里的矩阵Ａ就是一个对称矩阵 而 四、对角矩阵与准对角阵 先前我们已经给出了对角矩阵为形如 的方阵，即除对角线上的元素外，其它元素全是０． 特别地，如果 则是数量矩阵． 对于两个n阶对角矩阵的乘法，交换律是成立的，即 下面我们谈谈准对角矩阵的概念及最简单的性质． 设Ａ为n阶方阵，则形如 的矩阵，其中 为 阶方阵， 而Ｏ表示适当类型的零矩阵． 这样的矩阵称为准对角矩阵或分块对角矩阵． 型 由名称即可知道，准对角矩阵不过是分块矩阵的特殊情形．关于一般的分块矩阵的内容请参看其他教材． 矩阵分块是为了简化对较高阶数的矩阵的计算．因为分块矩阵的运算非常简单． 对同类型的分块对角矩阵 如果下面的运算都有意义，则运算性质有： （１） *