12.4.2幂级数性质31.ppt

例2 对下列级数求和： 例3 答 不能. 3.和函数已知的常用幂级数有： * * §12.4.2 幂级数性质 幂级数不仅形式简单, 而且具有优良的分析性质. 通过本节学习, 要求做到： 2. 会用幂级数的性质求和函数. 1.理解幂级数的运算性质和分析性质; 定理1 设 则对 用级数和的定义----部分和的极限可以证明: (1) (2) 一、幂级数的线性运算性质 及任意常数 , 有: (常数因子可以提出) (级数相加可合并系数) 则 评注 1) 上述运算不改变收敛半径, 故可在收敛区间上反复进行; 二、和函数的分析运算性质 (1) s(x)在 上连续: (2) s(x)在 上可导, 且可逐项求导： (3) s(x)在 上可积, 且可逐项积分： 2) 运算未涉及收敛区间的端点, 故结果级数的收敛域仍需讨论. 定理2 设 3)应用----给出了幂级数求和函数的主要方法 根据微分和积分的关系, 借助几何级数的求和结果, 有公式: 或 例1 求下列级数的和函数 ① ② 解 ①此处的收敛半径 r = 1. 在端点 处, (在收敛区间求出和函数, 和函数定义域即级数收敛域) 对 原级数显然发散, 和函数也无定义. . 解 ② 此处 r = 1, 而在x =1处, 函数无定义. 收敛, 故 对 注意到端点 处, 且函数 有意义; 解⑴ 由上例1 可知： 故 ⑴ ⑵ 由于此处 ⑵ 在⑴中取 即得 注 和函数为数项级数求和提供了另类重要途径.如: 解 由例2 知, 该级数的收敛半径 r＝+∞. 可得 解此一阶微分方程(分离变量, 积分求解): 的和函数 . 设 亦即 ① ② 例4 求和函数 提示 这里半径等于1;先积分化为几何级数, 后求导即得和函数 提示 这里r =1;先求导化为几何级数, 后积分即得和函数 提示 取级数 则有 r = 1, 由于 所以 (互动练习) 例5 对 求和 (互动练习) 在收敛区间(-1,1)上: 注 根据需要, 求和函数时可以多次应用级数的分析性质. 答 不一定. 例如, 对 计算可知: 它们的收敛半径都是1, 但收敛域却分别是: 三、有关分析性质的问题与思考 1.幂级数的连续性、逐项积分均保持其收敛域不变, 那么逐项求导后, 其收敛域是否也不变？ 逐项求导, 得到: 2. 在幂级数 中, n 为奇数 n 为偶数 能否确定它的收敛半径不存在 ? 因为 当 时级数收敛 , 时级数发散 , 原因 可以证明 比值判别法成立 根值判别法成立. 以后均可作为幂级数求和函数的公式.