1第一章典型方程与定解条件.ppt

数学物理方程与特殊函数 第1章 典型方程和定解条件的推导 一、 基本物理定律与典型方程的建立 二、 各种定解条件的数学描述 三、 偏微分方程定解问题的基本概念 数学物理方程定解问题的提法 泛定方程（传输方程、波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等） 定解问题： 定解条件（初始条件，边界条件） 四、 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 数学物理方程与特殊函数 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 条件：均匀柔软的不可拉伸细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。 1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程 研究对象： 弦线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。 一、 基本物理定律与典型方程的建立 弦振动的相关模拟 波的传播的相关模拟 弦振动的相关模拟 简化假设： (2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 牛顿运动定律： 横向： 纵向： 其中： 其中： 其中： ………一维波动方程 令： ------非齐次方程 自由项 --齐次方程 忽略重力作用： 从麦克斯韦方程出发： 在没有场源的自由空间： 例1 时变电磁场与三维波动方程 对第一方程两边取旋度， 根据矢量运算： 由此得： 得： 即： 同理可得： ——电场的三维波动方程 ——磁场的三维波动方程 1.1.2 能量守恒与热传导方程 热传导现象中所要研究的物理量是温度。 热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。 热场 温度与那些量有关呢？例如，手握铁棒放在炉火 烧，火中的一端温度高，手握的一端温度低，这 说明温度分布与位置有关；同时，手握的一端也 会慢慢变烫，即温度分布与时间有关。 给定一空间内物体 ，设其上的点 在时刻t 的温度为 , 研究温度 的运动规律。 1.1.2 能量守恒与热传导方程 傅立叶试验定律是傅立叶在1822年出版的著作《热的解析理论》中提出的。傅立叶是导热理论的奠基人，他通过实验，分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立叶试验定律，从而揭示了导热热流与局部温度梯度间的内在联系。 热场 2、傅里叶(Fourier)热传导定律(试验定律): 1、热量守恒定律: 温度变化吸收的热量 通过边界流入的热量 热源放出的热量 两个物理定律 1.1.2 能量守恒与热传导方程 根据傅立叶试验定律， 在dt 时间内从dS 流入V 的热量为： 从时刻t1到t2通过S 流入V 的热量为 高斯公式(矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分) 傅立叶试验定律：在任意时刻，各向同性的连续介质内任意位置处的热流密度在数值上与该点的温度梯度成正比，而方向相反，即 热场 其中k为导热系数，公式中的负号表示热量的传递方向与温度梯度方向相反。 热场 流入的热量导致V 内的温度发生变化 ? ,温度发生变化需要的热量为： 由热量守恒定律得： 由 及 的任意性知 由此得到热传导方程： 它反映了导热物体内的能量守恒关系。 热场 如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程 为热扩散系数。 对均匀且各向同性物体，即物体的热物性参数 均为常数，则有 对应地，称(1)为齐次热传导方程。 称f为非齐次项(自由项)。 质量守恒与扩散方程 1858年,菲克(Fick)参照了傅里叶于1822年建立的导热方程,获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式:菲克第一定律。假设有一单相固溶体,横截面积为A,浓度C不均匀,在dt时间内,沿法向通过点x处截面A所迁移的物质的量与该处的浓度梯度成正比： 由扩散通量的定义:单位时间内通过单位横截面的粒子数，有菲克第一定律 （1） 式中J称为扩散通量.常用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)； 是同一时刻沿轴的浓度梯度；D是比例系数，称为扩散系数。 质量守恒与扩散方程 扩散过程 扩散通量J的方向与浓度降低的方向一致 如图所示，在扩散方向上取体积元 和 分别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在Δt 时间内，体积元中扩散物质的积累量为 扩散流通过微小体积的情况 质量守恒与扩散方程 即扩散物质的浓度满足扩散方程： 而 于是 质量守恒与扩散方程 如果扩散系数为常数，则上式可写成 一般称以下两式为菲克第二定律：